Un (tout petit) peu de maths part. 1 – WUS#1

 

Que l’on vous prévienne tout de suite ! On a l’intention de tenir un blog de sciences. Principalement de physique, puisque c’est ce qu’on connaît le mieux. Et figurez-vous que le langage privilégié de la physique, c’est le langage mathématique.

Rassurez-vous tout de suite, il ne faut pas se bloquer et prendre ses jambes à son cou dès qu’on parle de mathématiques. Le but de ce blog c’est aussi de montrer qu’avec un petit bagage mathématique (tout gentil) on peut comprendre un grand nombre de phénomènes. Et puis vous verrez au passage, les maths, c’est cool, c’est même parfois joli ! Je vais essayer de vous en convaincre dans ce billet, ça vaut le coup de rester jusqu’au bout non ?

Dans nos billets, la difficulté sera progressive. Ou plutôt, après avoir présenté un phénomène avec des mots, on essaiera de rendre compréhensibles des énoncés mathématiques. On partira de peu ou pas de connaissances mathématiques, puis on commencera à écrire quelques équations modélisant le phénomène (qu’on expliquera toujours), jusqu’à faire parfois une présentation un peu plus technique mathématiquement. Cette première partie (il y aura un deuxième billet) parle essentiellement de vecteurs, notion incontournable de la physique et des mathématiques.

 

(Pour ceux que ça rebuterait un peu, croyez-moi c’est quand même plus sympa que ce que l’on pourrait croire, d’autant que je vais essayer de rendre ça clair et concis. Et puis n’êtes-vous pas curieux de savoir décrire le monde ? J )

 

On va essayer de compacter en moins de trois mille mots le programme de seconde-première-terminale S-ES, avec juste ce qu’il faut de formalisme et d’intuition mêlées. N’hésitez pas à nous dire dans les commentaires si quelque chose vous a dérangé (si vous arrivez jusque-là sans mourir d’ennui). Bienvenue dans cette première partie !

 

Weierstrass_b

 

Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815-1897), considéré comme le père de l’analyse moderne. Alors qu’il semblait destiné au droit et à l’économie, il a insisté pour suivre des études de mathématiques en parallèle – et ça lui a plutôt réussi. De 1848 à 1856, dans l’université de Hosanium à Braunsberg, il a été prof de maths, mais aussi de physique, de biologie, de géographie, d’histoire, d’allemand, de calligraphie et de gymnastique. On lui doit notamment une nouvelle définition de la continuité d’une fonction (toujours utilisée aujourd’hui – celle avec des epsilons pour ceux à qui ça parle), ainsi que la notion de convergence, et également la preuve du fameux théorème de Bolzano-Weierstrass, ainsi que celui des valeurs intermédiaires. Il a eu comme élèves Georg Cantor et Hermann Schwartz notamment. Malade pendant un long moment à la fin de sa vie, il est resté immobile trois ans avant de mourir d’une pneumonie.

 

 

Espaces euclidiens, vecteurs et produit scalaire

 Comment décrire mathématiquement le monde qui nous entoure ? Commençons par affirmer que nous vivons dans un espace à trois dimensions (en fait c’est discutable, et c’est même compliqué, mais d’une manière générale affirmer cela est une bonne approximation dans la majorité des cas). Pour donner un cadre mathématique à cet espace on va définir des vecteurs, c’est-à-dire des quantités mathématiques qui vont nous aider à déterminer les notions de position, de vitesse, et de champ.

 

Un vecteur est défini par un sens, une direction et une norme. Imaginez-vous une flèche dans un espace en 3D.  Dans un espace rempli de vecteurs (appelé espace euclidien) on va notamment pouvoir déterminer la position de n’importe quel objet, de n’importe quel point, comme si on lui envoyait une flèche à partir d’un point d’origine. Ce point, on va lui attribuer des coordonnées, c’est-à-dire une décomposition par rapport à des vecteurs de base.

 

On va ainsi prendre trois vecteurs particuliers, non alignés deux à deux (en pratique on dira « non colinéaires » ou que « la famille des vecteurs est libre »), et partant du même point, qu’on va appeler l’origine. Ces vecteurs de base forment… une base. Je vous laisse vous convaincre que tout point de l’espace peut être atteint grâce à une combinaison de ces vecteurs !  Imaginons (schéma ci-dessous) que je veuille atteindre le point A de coordonnées (3,1,2.5), en partant de O. Alors pour ça je prends le vecteur \overrightarrow{x} que je multiplie par 3, je lui ajoute le vecteur \overrightarrow{y}, et j’ajoute au tout 2.5 fois le vecteur \overrightarrow{z}. Cette décomposition est unique, c’est-à-dire qu’on ne peut pas trouver d’autre combinaison allant jusqu’au point A  faisant intervenir \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} et \overrightarrow{z} une seule fois. En passant, ça nous a permis de définir le vecteur \overrightarrow{OA} (en rouge sur le schéma).

 

base4

Attention, multiplier un vecteur par 3 ne revient pas à le multiplier avec le vecteur 3 (ce qui ne voudrait rien dire). Ici 3 est un simple coefficient, on appelle ça un scalaire.

 

Si on fait ce qu’on appelle le produit scalaire d’un vecteur avec le vecteur \overrightarrow{x}, on obtient la composante du vecteur suivant \overrightarrow{x}, c’est-à-dire de combien il a fallu aller dans la direction \overrightarrow{x} pour arriver au bout du vecteur. Cette opération, notée par exemple \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{x} correspond en fait à la projection du vecteur suivant l’axe \overrightarrow{x}. Regardez la figure précédente, et imaginez-vous « rabattre » le vecteur \overrightarrow{OA} en rouge dans la direction \overrightarrow{x}. On peut donc écrire, d’une manière très générale :

\overrightarrow{OA}=(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{x})\overrightarrow{x}+(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{y})\overrightarrow{y}+(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{z})\overrightarrow{z}

 

Voilà le cadre dans lequel on travaillera la plupart du temps, un petit formalisme utile, notamment en mécanique pour décrire la trajectoire d’un point, en optique ondulatoire pour déterminer l’image d’un point source par un système quelconque, etc.

 

bonhomme

Par exemple, prenons l’image d’une personne qui marche, que l’on va appeler Bob. Sa vitesse peut être modélisée par un vecteur : il va dans une certaine direction, dans un certain sens, plus ou moins vite. On voit ainsi l’utilité de décrire un problème dans un espace euclidien, dont les vecteurs représentent les vitesses. La vitesse  de Bob dépend du temps, il peut avoir envie d’accélérer. Il peut même avoir envie de tourner en allant tout aussi vite. Dans ce cas le vecteur vitesse a changé (puisque la direction a changé) mais la norme de la vitesse non (parce qu’il va toujours à la même allure).

On ne peut donc pas dire \overrightarrow{v_{1}}<\overrightarrow{v_{2}}, ça n’a pas de sens puisque dans les deux cas Bob va aussi vite mais sa vitesse a changé (puisque sa direction a changé). En revanche on peut écrire v_{1}=v_{2}.

 

 

Promenons-nous dans les champs

Munis de cette notion, on va simplement ajouter celle de champ. Il existe deux types de champs : les champs scalaires et les champs vectoriels.

 

Champ scalaire : à tout point de l’espace on attribue un nombre, une valeur. Cela peut paraître abstrait comme ça mais on peut comprendre simplement cette notion grâce à l’idée que l’on se fait de la température. Car la température peut se modéliser comme un champ scalaire. Tout point de l’espace a une température définie. La température n’est pas la même partout, elle varie en fonction du temps et de l’espace. Il en va de même pour la pression. En fait, on baigne dans des champs sans le savoir. Enfin plutôt on baigne dans un espace dont les propriétés physiques sont modélisables par des champs.

 

Champ vectoriel : à tout point de l’espace on attribue un vecteur. Une image qu’on peut s’en faire c’est une foule. Imaginez-vous une foule qui avance dans une certaine direction, et à un moment donné je fige la scène (photo !). On a vu que chaque personne a un vecteur vitesse, et bien si on représente le vecteur vitesse de toutes les personnes sur notre photo, ce qu’on a fait c’est obtenir une image du champ des vitesses à un instant donné ! C’est exactement ce qu’on fait en mécanique des fluides.

Il en va de même pour les fameux champs électrique et magnétique. Ces champs caractérisent certaines propriétés d’un milieu, et ce sont des champs vectoriels aussi. D’ailleurs on peut faire le lien avec le champ des vitesses : si on prend un champ électrique dans un milieu conducteur, alors il y a un courant qui va apparaître, et un courant c’est quoi ? un déplacement d’électrons ! Donc la vitesse des électrons (champ des vitesses des électrons) est proportionnelle à l’intensité du champ électrique.

De même pour un champ magnétique, on sent quand on joue avec des aimants que l’intensité de l’attraction et de la répulsion varie dans l’espace selon qu’on approche ou éloigne les aimants. De plus le sens dans lequel on place les aimants a une importance, ce qui légitime le fait de modéliser cet « effet magnétique » par des vecteurs en tout point de l’espace, c’est-à-dire un champ.

lignes de champ magn

Graphe d’un champ magnétique 2D sur Maple

 

Remarque en passant : Si on ne fait pas le lien entre électrons et champ électrique, ce n’est pas évident a priori que le champ électrique par exemple est un champ vectoriel. On n’a pas su tout de suite que c’était le cas. Pourquoi en effet ne pas attribuer uniquement une valeur au champ électrique en tout point ? Grâce aux travaux du physicien Augustin Fresnel notamment, on a réussi à montrer que certaines propriétés des ondes électromagnétiques en un point dépendent de la direction de l’onde, et donc de la direction du champ électrique : cette anisotropie suggère le caractère vectoriel du champ électrique (pour être plus correct, on a montré que l’indice d’un milieu biréfringent était perçu différemment par une onde selon sa direction de polarisation, ce qui a justement permis de mettre en évidence la polarisation des ondes électromagnétiques).

 

Cuesta_del_obispo_01

Un joli paysage en Argentine à regarder deux secondes pour se reposer le cerveau =)

 

J’espère que ça a été, n’hésitez pas à me dire dans les commentaires si vous avez des remarques/des questions ! On se retrouve prochainement pour la partie 2, qui parlera de dérivation, d’intégration, d’équations, et de nombres complexes !

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