L’incroyable histoire de Srinivasa Ramanujan – WUS#3

Aujourd’hui, on va parler de ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன். Mais on va plutôt l’appeler Srinivasa Ramanujan, si vous le voulez bien.

Ramanujan_yo
Ramanujan est un mathématicien indien génial, et pourtant assez méconnu du grand public. Je vous invite à aller directement sur sa page Wikipédia pour aller lire sa biographie dont je ne vais relater ici que les faits principaux. Ramanujan reste à ce jour une des figures les plus romantiques de l’histoire de mathématiques. Génie autodidacte, il a à son actif des théorèmes et des formules d’inspiration quasi-divine, sans démonstration, dans des domaines variés des mathématiques.

La – courte – vie de Srinivasa Ramanujan

L’histoire commence en 1887 en Inde, à Erode (qui n’est pas la Hérode du vieux comme Hérode). Né d’un père commis dans un magasin de sari (vêtement traditionnel de la femme indienne constitué d’une pièce d’étoffe drapée et ajustée sans couture ni épingles) et d’une mère femme au foyer (avec qui il était très proche), il s’avère rapidement être un excellent élève, avec une capacité d’apprentissage hors du commun. Il assimile rapidement les premiers livres de mathématiques qui lui passent sous la main : La Trigonométrie plane de S. Looney, et Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de S. Carr. Et même plus que les assimiler, il les comprend avec une grande profondeur, et ce bien que le livre de Carr ne comprenne aucune démonstration, uniquement des énoncés de théorèmes.

Ramanujan découvre ses premiers théorèmes à 13 ans (comme tout le monde), et finit par ne s’intéresser qu’aux mathématiques (aux dépens de son parcours académique et des bourses qu’il pourrait recevoir). Il se marie en 1909 avec Janaki Ammal, âgée de 9 ans (et morte en 1994), mariage arrangé par la mère de Ramanujan (Janaki qui ne part vivre avec Srinivasa que trois ans plus tard). Son travail porte sur un grand nombre de domaines des mathématiques, et il obtient un grand nombre de résultats, notamment en théorie des nombres. Découvreur de nombreuses formules liant les constantes fondamentales des mathématiques et pour la plupart encore pas démontrées, Ramanujan est allé jusqu’à inventer son propre système de notation.

Sachant ses travaux plus avancés que ceux de son entourage académique, il décide de se tourner vers les savants occidentaux. Et en effet, en 1913, le mathématicien anglais Godfrey Hardy reçoit une lettre incroyable plein de formules et de théorèmes. Il croit d’abord à un canular tant les formules ont l’air « sorties de nulle part » mais finit par se convaincre que leur auteur était un homme de génie (parce qu’elles ont bien l’air d’être justes, en réalité). Avec John Littlewood, un autre mathématicien anglais, il invite ainsi Ramanujan à Cambridge. S’ensuit une collaboration fructueuse, qui durera plusieurs années. Ramanujan publiera pas moins de 21 articles durant cette période, et deviendra membre de la Royal Society.

Durant son séjour en Angleterre – qui durera cinq ans – Ramanujan vit paisiblement. C’est quelqu’un de timide et très pieux. Végétarien, fortement influencé par les leçons prodiguées par sa mère, il puise son inspiration dans sa foi, il n’y a pour lui aucune distinction entre les mathématiques et le divin.

Hardy le comparera à des monuments tels que Euler ou Gauss, considérant que Ramanujan le dépassait lui et Littlewood, mais aussi la plupart des mathématiciens de l’époque, dont David Hilbert, mastodonte des mathématiques du 20ème siècle.

 

Godfrey_Harold_Hardy_1

« Un seul coup d’œil sur ces formules était suffisant pour se rendre compte qu’elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, parce que personne n’eût pu avoir l’idée de les concevoir fausses. » Hardy

 

Après son retour d’Angleterre en 1919, sentant sa santé fragile (il avait contracté la tuberculose en 1917) et conscient de son talent, il confie ses cahiers mathématiques à un ami chargé de les montrer à d’éminents professeurs indiens et britanniques. Aujourd’hui encore, les cahiers de Ramanujan sont étudiés, notamment pour y puiser de l’inspiration.

Ramanujan meurt à Madras le 26 avril 1920 à 32 ans, laissant derrière lui ses cahiers et des résultats d’une profondeur que l’on n’a toujours pas fini de sonder.

 

Des exemples

Voici quelques exemples de formules « trouvées », « inventées » par Ramanujan. Il faut avouer que leur incongruité saute aux yeux. On ne peut qu’être admiratif et contempler ces formules comme on regarde un tableau! (non ?)

 

Une première formule étonnante qui lie deux constantes des mathématiques : le fameux \pi et \mathrm{e}, appelé nombre de Neper, peut-être un peu moins connu, qui vaut 2.71828182846 environ.

 

1+\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdot7}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9}+\cdots+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\cdots}}}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{e}\pi}{2}}

 

Un deuxième exemple ?

 

\sqrt{\phi+2}-\phi=\frac{\mathrm{e}^ {-2\pi/5}}{1+\frac{\mathrm{e}^ {-2\pi}}{1+\frac{\mathrm{e}^ {-4\pi}}{1+\frac{\mathrm{e}^ {-6\pi}}{1+\cdots}}}}

 

\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} est le nombre d’or, valant environ 1.61803398875 qui a de nombreuses propriétés intéressantes, notamment en géométrie.

 

Un autre formule très importante, puisqu’elle calcule \pi de manière très efficace :

 

\pi=\displaystyle\frac{9801}{2\sqrt{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{(n!)^{4}}\times\frac{1103+26390n}{(4\times99)^{4n}}}

 

Il fallait y penser non ? J’avoue qu’à l’origine je voulais coder un petit programme pour voir si cette formule convergeait rapidement, c’est-à-dire à partir de quelle valeur de n on pouvait considérer qu’on a une approximation de \pi suffisante. Mais en prenant uniquement le premier terme (n=0) j’obtiens directement : 3.14159273001 alors \pi=3.14159265359 . Donc cette somme converge très rapidement.

 

Savez-vous que :

(\cos 40\textdegree)^{1/3}+(\cos 80\textdegree)^{1/3}-(\cos 20\textdegree)^{1/3}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{2}(\sqrt[3]{9}-2)}

 

Une égalité cette fois, valable pour tous x et y :

 

(3x^{2}+5xy-5y^{2})^{3}+(4x^{2}-4xy+6y^{2})^{3}+(5x^{2}-5xy-3y^{2})^{3}=(6x^{2}-4xy+4y^{2})^{3}

 

Cette égalité n’est pas difficile à démontrer en développant les calculs, en revanche personne n’a été en mesure de déterminer comment arriver à l’obtenir en partant d’autre chose !

 

Une autre formule étrange :

 

2\sin(\pi/18)=\displaystyle\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\cdots}}}}

où les -, +, +, -, +, +, … s’alternent dans cet ordre.

 

Allez une dernière pour la route :

 

1-5\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{3}+9\left(\displaystyle \frac{1\times3}{2\times4}\right)^{3}-13\left(\displaystyle \frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^{3}+\cdots=\displaystyle\frac{2}{\pi}

 

 

Voilà c’est à peu près tout pour ce billet sur Ramanujan ! Vous trouverez sur Internet beaucoup d’autres formules de Ramanujan, je me suis contenté des plus connues et des plus simples : en réalité des résultats d’une grande force mettent en œuvre des quantités mathématiques et des fonctions qui sont parfois ardues à définir (la fonction Gamma d’Euler par exemple, pour ne citer qu’elle) et à comprendre. J’ai donc cité plusieurs formules qui peuvent paraître parfois anecdotiques mais il a bien souvent contribué à des avancées importantes et écrit des théorèmes très généraux.

 

Références

An overview of Ramanujan’s Notebooks, Bruce C. Berndt

The Institute of Mathematical Sciences, Ramanujan

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