Un (tout petit) peu de maths Part.2 – WUS#7

Bonjour à tous ! Il est temps de se remettre en selle pour la deuxième partie de notre introduction aux mathématiques utiles pour la physique. Au programme aujourd’hui : la dérivation !

J’avoue que je voulais aussi caser l’intégration, les équations, et les nombres complexes, mais ça commençait à faire un peu long, donc je préfère faire plusieurs billets digestes qu’un gros pavé infinissable.

Plutôt que de dire « la dérivée c’est ceci » et « l’intégrale c’est cela » on va d’abord essayer  de mettre en évidence la nécessité ou plutôt l’utilité de créer des quantités mathématiques décrivant notamment la variation (ce qui va donner la dérivée) et la somme (ce qui va donner l’intégrale).

Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz copie

Quand j’étais au lycée, je croyais que Leibniz était un philosophe sottement optimiste. J’avais lu Candide de Voltaire, et je croyais que la formule « Tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles » venait de Leibniz. Mais il n’a jamais dit ça, d’ailleurs Voltaire ne le critiquait pas directement, mais dénonçait plutôt le fait que la métaphysique ne permettait pas de résoudre les problèmes de vie des gens.

Né en 1646 à Leipzig, Gottfried Wilhelm Leibniz affirmera avoir appris le latin tout seul (!). Docteur en droit, conseiller politique, il rencontre en France les grands savants de son époque lors d’une mission diplomatique censée convaincre Louis XIV d’envahir l’Egypte plutôt que l’Allemagne. Il se consacre alors aux mathématiques et invente le calcul infinitésimal, une nouvelle manière de faire des mathématiques qui apportera des apports colossaux – notamment en physique. Il invente une des premières calculatrices mécaniques. En 1676 il rencontre Spinoza à La Haye, puis est nommé bibliothécaire à Hanovre. Il voyage beaucoup en Europe, et s’intéresse à la philosophie, la religion, l’histoire, la physique. Loin d’être un philosophe de second rang, il est le premier à poser la question « pourquoi y a-t-il quelque chose plutôt que rien ? » en ces termes. En physique, il introduit les concepts d’énergie cinétique, et de principe de moindre action.

En 1711, on l’accuse d’avoir plagié les travaux de Newton sur le calcul infinitésimal – et Leibniz est reconnu coupable, bien que ce fût démenti par les historiens par la suite – et il finit sa vie dans une légère disgrâce. Il meurt à Hanovre en 1716, et seul son secrétaire personnel assista à l’enterrement. Ni la Royal Society ni l’Académie Berlinoise des Sciences dont il était membre ne lui rendirent hommage. Il n’y eut aucune plaque sur sa tombe pendant plus de 50 ans.

 

La dérivation, une opération mathématique qui traduit la variation

Promenons-nous avec Bob

Retrouvons notre ami Bob qu’on avait laissé dans le premier billet sur les vecteurs. Bob a envie d’aller d’un point A à un point B, comme la dernière fois. Cette fois, on va représenter la position de Bob en fonction du temps. On va supposer que la droite (AB) forme un axe x et on s’intéresse donc au parcours qu’effectue Bob le long de cette ligne en fonction du temps.

Bob qui marche
On voit sur ce graphe qu’on peut identifier plusieurs périodes caractéristiques du déplacement de Bob :

  1. De t0 à t1, il ne bouge presque pas.
  2. De t1 à t2, il se déplace de manière beaucoup plus accentuée que lors de la période précédente.
  3. De t2 à t3, il reste à nouveau pratiquement sans bouger.
  4. De t3 à t4, il se déplace brusquement.
  5. De t4 à t5, il a pratiquement atteint le point B et il ne se déplace plus beaucoup.

 

On sent bien que la notion qu’il y a derrière tout ça c’est la notion de vitesse : dans les phases 1, 3 et 5, la vitesse de Bob est nulle, tandis que dans les phases 2 et 4 sa vitesse augmente brusquement.

On a ainsi mis en évidence le fait que la vitesse, c’est une variation de position dans le temps. Rien de formidable, pensez-vous peut-être. Mais détrompez-vous, car c’est quelque chose de beaucoup plus riche qu’il n’y parait.

Traçons donc la vitesse de Bob.

Vitesse de BobOn voit bien que lorsque la position de Bob est constante, sa vitesse est nulle. Quand sa position varie beaucoup, sa vitesse est importante.

Comment obtenir la courbe de la position à partir de la courbe des vitesses ? En fait la vitesse correspond à la pente de la courbe de la position ! Regardez la courbe ci-dessous où j’ai repris la position de Bob et j’ai tracé en rouge la tangente en quelques points, c’est-à-dire la droite qui suit le mieux la courbe en ce point. Lorsque la vitesse est constante, la pente est horizontale, elle est nulle. Mais lorsque la position varie, la pente augmente, puis atteint une valeur maximale, puis diminue : c’est la vitesse !

Bob qui marche + tangentes

Autre exemple

Prenons un dernier exemple. Bob veut cette fois aller d’un point C à un point D (varions les plaisirs).

Bob qui marche le retour

Cette fois, Bob a dépassé le point D et quand il s’en rend compte il rebrousse subitement chemin. La vitesse de Bob est constante entre t0 et t1, puis encore constante mais avec une autre valeur entre t1 et t2. Dans ce deuxième cas, la pente est négative, donc la vitesse est négative (c’est logique puisque Bob va dans le sens D vers C et non plus de C vers D, à l’opposé de l’orientation de l’axe). La vitesse de Bob peut donc être représentée sur le graphe ci-dessous :

Vitesse de Bob le retour

Donc on voit que la vitesse de Bob peut changer de signe, et qu’elle peut être discontinue (en pratique c’est physiquement impossible, Bob a bien dû accélérer et ralentir à un moment, et sa vitesse ne peut donc pas passer instantanément d’une valeur à une autre).

En résumé, on a mis en évidence tout un tas de liens entre la position et la vitesse. Ces liens (mathématiques) permettent ainsi de construire une grandeur appelée vitesse dès qu’on connaît la position en fonction du temps. On dit que la vitesse est la dérivée temporelle de la position !

On a parlé uniquement de vitesse et de position, mais en fait on a fait bien plus que cela : toute dérivée d’une fonction quelconque se comporte exactement comme la vitesse par rapport à la position. Par exemple, si on veut aller un peu plus loin : qu’est-ce que la dérivée temporelle de la vitesse ? Réfléchissons un peu : c’est quelque chose qui représente les variations de vitesse en fonction du temps : c’est l’accélération ! Regardez un peu la première courbe de la vitesse de Bob et vous verrez qu’on retrouve facilement l’allure de l’accélération !

 

La dérivée

Enfin la dérivée ! Bon alors si je résume, qu’est-ce qu’une dérivée ? La dérivée de x par rapport à y traduit la variation de x par rapport à y. Remplacez x et y par position et temps et vous obtenez que la dérivée de la position par rapport au temps c’est la vitesse (à savoir la variation de position par rapport au temps). On a pu mettre en évidence des propriétés très générales de la dérivée :

– La dérivée d’une constante est nulle.
– Graphiquement, la dérivée d’une grandeur correspond à la pente de cette grandeur, c’est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à la courbe en tout point.
– La dérivée d’une fonction croissante est positive. La dérivée d’une fonction décroissante est négative.
– Lorsque la courbe présente un point anguleux, la dérivée n’est pas continue.

 

Il existe des règles de calcul de la dérivée : si on connaît l’expression d’une grandeur en fonction de ses variables (on dit qu’on connaît sa forme analytique), on est souvent capable de calculer sa dérivée à partir de quelques règles de base : la dérivée de quelque chose qui ne dépend pas de x est nulle, la dérivée de ax est a (si a est un nombre qui ne dépend pas de x), la dérivée de \frac{1}{x} est -\frac{1}{x^{2}} etc. A chaque fois, la dérivée vérifie les propriétés qu’on a mises en évidence dans l’exemple de Bob. On peut faire le même travail graphique, même si on ne pourra alors pas donner l’expression exacte de la dérivée.

J’ai omis certains détails mathématiques (certaines grandeurs ne sont pas toujours dérivables en fait, mais comme souvent en physique on ne va pas s’en préoccuper très souvent), mais le gros est là. Il faut bien retenir cette histoire de variation, de sensibilité. Mathématiquement, on note :

La dérivée de f par rapport à x est \displaystyle\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}.

Si la fonction f dépend de plusieurs variables x, y et z, la dérivée de f par rapport à x (par exemple) s’écrit : \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}. On parle alors de dérivée partielle.

Si f est une grandeur qui varie dans l’espace (par exemple la température qui dépend des trois directions de l’espace) alors il existe un outil qui traduit la variation de cette grandeur : c’est le gradient, noté \overrightarrow{grad}(f). On a :

\overrightarrow{grad}(f)=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{\mathrm{e}_{x}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{\mathrm{e}_{y}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{\mathrm{e}_{z}}

Ainsi le gradient est un  vecteur dirigé vers les zones où f est élevée, et perpendiculaire aux zones où f a la même valeur. Un fort gradient de température traduira ainsi les importantes variations spatiales de température. Une généralisation spatiale de la dérivée quoi.

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Allez, une petite pause bien méritée : je vous laisse admirer ce beau paysage néo-zélandais avant de passer à la suite. Rendez-vous au prochain billet !

 

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