Le paradoxe de d’Alembert – WUS#8

Bonjour à tous !

Il me tardait de rédiger un billet orienté mécanique des fluides… c’est maintenant chose faite ! Cette semaine, place à un phénomène qui peut, au premier abord, paraître étrange : le paradoxe de d’Alembert.

Quelques notions de mécanique des fluides

Avant de s’intéresser au paradoxe de d’Alembert en lui-même, on va d’abord introduire quelques notions de mécanique des fluides. La mécanique des fluides, c’est la science qui étudie le comportement des fluides (un liquide ou un gaz), et notamment les écoulements de fluides, par exemple un écoulement d’eau dans un tuyau ou encore un écoulement d’air autour d’une aile d’avion. Les fluides possèdent certaines propriétés (compressibilité, viscosité…) qui sont très importantes pour comprendre l’écoulement d’un fluide autour d’un obstacle.

On va s’intéresser notamment à la notion de viscosité. On voit bien instinctivement, physiquement ce qu’est quelque chose de visqueux. On sent par exemple bien que le miel est une substance plus visqueuse que l’eau, et une façon de s’en convaincre est de voir que l’eau a bien moins de difficultés que le miel pour s’écouler. C’est dû la viscosité, qui est la tendance d’un fluide à résister à son écoulement. Elle se caractérise notamment par une grandeur qu’on appelle viscosité cinématique (exprimée en Poiseuille, ou en Pa.s). Par exemple, alors que .

Quand on étudie un écoulement de fluide, et plus particulièrement d’un gaz, autour d’un objet, on introduit souvent les notions de portance et de traînée. Schématisons ces notions sur un schéma de profil d’aile d’avion.

On considère un profil d’aile avec une certaine incidence , angle entre la direction de la vitesse et de la corde de l’aile) placé dans un écoulement d’air de vitesse . (Là, on s’est placé dans le référentiel de l’aile, mais en se plaçant dans un référentiel où l’air est au repos, on peut aussi dire que c’est l’aile qui se déplace avec la vitesse ).

L’air exerce une force sur le profil : on parle de résultante aérodynamique, que l’on note ici . Si on projette cette force dans le repère associé à la vitesse, on obtient deux composantes :

• La portance, notée (L pour lift), qui est orthogonale à la vitesse. C’est grâce à cette force qu’un avion peut voler. Expérimentalement, on constate une dissymétrie de la répartition de pression autour du profil, plus précisément une dépression sur l’extrados (la partie du profil située au-dessus de la corde) et une surpression sur l’intrados (la partie de profil située sous la corde). Ce phénomène est une explication de l’existence d’une force de portance.
• La traînée, notée (D pour drag), qui possède la même direction que la vitesse. C’est une force qui, comme on peut le voir sur le schéma, s’oppose au déplacement de l’aile au sein de l’écoulement d’air.

Et si, en fait, il n’y avait pas tout le temps de portance et de traînée ?

Le paradoxe de d’Alembert

Considérons un écoulement à vitesse constante de fluide parfait autour d’un cylindre. Un fluide parfait est un fluide qui n’a pas de viscosité.

L’écoulement d’air est alors le suivant :

On notera que l’écoulement est représenté par des lignes de courant, à savoir des lignes qui sont en tout point tangentes à la vitesse de l’écoulement.

On constate une certaine symétrie de l’écoulement autour du cylindre, notamment par rapport à la direction de la vitesse. Cette symétrie nous aide à dire que, par exemple, la pression au point A est la même que celle au point B. En fait, il semble qu’il n’y a pas de dissymétrie de pression entre l’intrados et l’extrados du cylindre. Le cylindre n’aurait donc pas de portance, et en faisant le même raisonnement pour la traînée, on constaterait aussi que le cylindre n’a pas de traînée. Et pas de traînée, cela signifie aucune force qui s’oppose au mouvement de l’écoulement ! Ou bien, puisqu’il se passe la même chose dans le cas d’un cylindre en mouvement uniforme dans un fluide au repos, aucune résistance au mouvement du cylindre !

On a raisonné sur un cylindre, car il possède une géométrie simple, mais ce phénomène est valable pour tout objet, profil d’aile inclus ! C’est ça le paradoxe de D’Alembert : une absence de traînée et de portance pour un objet dans un fluide parfait. Étonnant par rapport à ce qu’on a vu avant  – un profil d’aile permet justement l’apparition d’une dépression et donc d’une portance – et l’expérience quotidienne, non ? Oui, mais non en fait ! Ce « phénomène » est en fait propre au modèle de fluide choisi, à savoir le fluide parfait. En réalité, il n’existe pas d’expérience dans laquelle un objet peut se propager dans un fluide, sans contrainte s’opposant à son mouvement  !

En effet, pour un écoulement de fluide non parfait, donc qui possède une viscosité non nulle, autour d’un objet, il existe ce qu’on appelle une condition d’adhérence à la paroi, autrement dit la vitesse du fluide sur la frontière de l’objet est nulle du fait de la viscosité (ce qui n’est pas le cas en fluide parfait, où la paroi de l’obstacle est une ligne de courant, donc la vitesse y est non nulle). Il existe donc une zone de petite taille où la vitesse autour de l’obstacle varie rapidement, de la vitesse nulle à la vitesse de l’écoulement incident, appelée couche limite. Il arrive que cette couche limite décolle, et donc qu’elle ne soit plus « accrochée » à l’obstacle. Dans ce cas, l’écoulement de fluide ne suit plus la forme de l’obstacle, il est décroché et il se forme alors un sillage composé de tourbillons. C’est ce qui arrive très souvent dans le sillage d’un cylindre, mais aussi d’un profil d’aile à forte incidence.

Tourbillons dans le sillage d’un cylindre (issu de http://hmf.enseeiht.fr)

Et c’est tout ?

On a donc vu que, dans le cas d’une hypothèse d’un fluide parfait autour d’un objet, cet objet n’est soumis à aucun effort aérodynamique. Mais alors que dire de la notion de « fluide parfait » ? Pourquoi l’avoir introduit dans ce billet alors que les résultats obtenus ne coïncident pas avec la réalité ?

En réalité, aucun fluide n’est totalement parfait. Tout fluide possède une certaine viscosité. Le fluide parfait est en fait un modèle, une manière de représenter de façon simplifiée, et donc non exacte, une problématique physique. Le modèle de fluide parfait permet notamment de supprimer toutes les non linéarités dues à la viscosité. Il ne permet a priori pas d’avoir directement accès aux notions de portance et de traînée – c’est ce que montre le paradoxe de D’Alembert, mais il est parfois plus aisé d’utiliser un tel modèle qu’un modèle de fluide visqueux. En effet, les phénomènes visqueux se concentrent la plupart du temps au sein de la couche limite, et donc, en dehors de celle-ci, on peut considérer le fluide comme parfait de manière satisfaisante.

Le modèle de fluide parfait a aussi une autre utilité, qui pourrait sembler… paradoxale avec le paradoxe de d’Alembert : il permet de calculer la portance d’un objet au sein d’un écoulement. Considérons un cylindre en rotation à vitesse angulaire constante au sein d’un écoulement de fluide parfait.

On constate tout de suite que l’écoulement n’est plus symétrique autour du cylindre, et donc qu’il y a une dissymétrie de pression entre l’intrados et l’extrados du cylindre. C’est l’effet Magnus, qui consiste en la création d’une force de portance du fait de la rotation d’un cylindre autour de son axe de révolution. On peut alors obtenir une formule pour calculer la portance, qui se généralise à tout objet au sein d’un écoulement de fluide parfait. La portance calculée résulte donc de la rotation du cylindre autour de lui-même, mais non de la viscosité du fluide, non pris en compte dans le cadre du modèle du fluide parfait !

Mais c’en est assez pour aujourd’hui, nous reverrons l’effet Magnus à l’occasion d’un nouveau billet !