Un ballon dans un aquarium – WUS#9

Bonjour à tous ! Aujourd’hui, une fois n’est pas coutume, nous allons parler d’art ! Car la science peut être un moyen d’inspiration pour les artistes, mais elle peut aussi les aider pour réaliser des projets et des œuvres.

Il y a quelques temps avait lieu à Beaubourg une exposition dédiée à l’artiste américain Jeff Koons. Je m’y suis rendu, et je n’ai pas pu m’empêcher de m’interroger sur certaines d’entre elles !

On va donc s’intéresser à une œuvre de l’artiste américain Jeff Koons, ou du moins plutôt une série, intitulée : « One Ball Total Equilibrium Tank ». Et grâce à la statique des fluides, on va comprendre comment réaliser une telle œuvre ! Ou comment la physique peut nous aider à voir ce qu’il y a à l’intérieur du ballon…

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One Ball Total Equilibrium Tank – Jeff Koons (1985) – Source

 

La genèse de l’œuvre

En 1985 Jeff Koons travaille sur sa série « Equilibrium Tanks » pour une exposition qui lui est consacrée. Son objectif est de placer dans un aquarium un ballon de basket-ball, qui soit totalement immergé et à l’équilibre. Un petit défi technique puisque chacun sait que lorsqu’on immerge totalement un ballon dans de l’eau, il a tendance à remonter à la surface. Koons a donc réalisé plusieurs œuvres de ce style, avec un ballon, ou trois ballons, et a également utilisé la même approche pour que le ballon de basket-ball soit à moitié immergé uniquement. Il a demandé l’aide de Richard Feynman, un physicien américain, prix Nobel de physique en 1965, dont on reparlera largement dans ce blog tant son apport a été important, en physique théorique ainsi qu’en pédagogie. Feynman était un sacré personnage, une véritable pop star de la physique.

 

Que voit-on ? Modélisons le problème !

Mais qu’y a-t-il à l’intérieur de ce ballon ? Quand on se penche sur l’aquarium, on voit effectivement une balle de basketball, qui ne bouge pas. Elle ne touche aucune des parois. Si le ballon ne remonte pas, c’est qu’il y a une astuce physique derrière ! A nous de la dénicher. On pourra plus tard essayer de faire l’expérience ! Ne regardons pas – pour l’instant – comment Koons a réussi à atteindre l’équilibre ou quels matériaux il a utilisés.

On va supposer que l’aquarium est composé d’eau (Hypothèse 1). Par simplicité. On va dire que l’aquarium a une hauteur h et qu’on veut mettre le ballon en h/2. Le ballon a un rayon R. On a bien sûr 2R<h.

Faisons un bilan des forces qui s’exercent sur le ballon. D’une part son poids \overrightarrow{P} l’entraîne vers le bas. D’autre part la poussée d’Archimède \overrightarrow{\Pi} l’entraîne vers le haut : la poussée d’Archimède correspond à la résultante des forces de pression, c’est-à-dire que chaque petite « parcelle d’eau » exerce une petite force sur le ballon, et que la somme de toutes ces forces donne une force « résultante » appelée la poussée d’Archimède. On peut montrer que la poussée d’Archimède est égale (en norme) au poids du fluide déplacé. En l’occurrence il s’agit du poids qu’aurait une boule d’eau de rayon R.

L’équilibre est atteint lorsque ces deux forces se compensent, c’est-à-dire lorsque \overrightarrow{P}+\overrightarrow{\Pi}=0. Il s’agit d’un principe de base très général en physique, qu’on peut appeler première loi de Newton ou principe fondamental de la statique.

En pratique, cela signifie le poids du ballon a été ajusté de manière à compenser la poussée d’Archimède. Si le ballon est plein d’air, il remonte à la surface, on le sait. Donc en l’occurrence le ballon n’est pas plein d’air, on a rajouté quelque chose de plus lourd à l’intérieur pour compenser la force qui tend à la ramener vers le haut !

On va dire que dans le ballon il y a de l’air et de l’eau (Hypothèse 2). L’idée sera donc de trouver les justes proportions permettant de compenser exactement le poids et la poussée d’Archimède, et donc d’être à l’équilibre !

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Notre aquarium et son ballon

Objectif : trouver la composition du ballon !

Calcul du poids du ballon

Le poids du ballon est donc la somme des poids de l’air dans le ballon, de l’eau dans le ballon, et du plastique formant l’enveloppe du ballon.

P=mg=(m_{air}+m_{eau}+m_{plastique})g

g est la constante de pesanteur, qui vaut environ 9,81 m/s^{2}

En première approximation on va dire qu’on néglige le poids du plastique (Hypothèse 3). Cela paraît raisonnable, étant donné le peu d’épaisseur de l’enveloppe du ballon !

Il s’agit alors de calculer les différentes masses. Les masses volumiques de l’eau et de l’air sont connues, il s’agit de la masse d’un mètre cube d’eau ou d’air. Ainsi la masse, c’est la masse volumique fois le volume total considéré.

m_{eau}=\rho_{eau}V_{eau}=\rho_{eau}VV est la volume d’eau recherché.

On a la même relation pour la masse de l’air contenue dans le ballon, avec cette fois le volume d’air qui est égal au volume total du ballon moins le volume occupé par l’eau !

m_{air}=\rho_{air}V_{air}=\rho_{air}(V_{ballon}-V_{eau})=\rho_{air}(\frac{4}{3}\pi R^{3}-V)

D’où :

P=(\rho_{eau}V+\rho_{air}(\frac{4}{3}\pi R^{3}-V))g

Calcul de la poussée d’Archimède

On a dit que la poussée d’Archimède est égale au poids du fluide déplacé, c’est-à-dire au poids d’une boule d’eau « virtuelle » :

\Pi=\rho_{eau}V_{total}g=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho_{eau}g

 

Calcul du volume d’eau nécessaire

On peut donc égaliser le poids et la poussée d’Archimède pour trouver V :

\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho_{eau}g=(\rho_{eau}V+\rho_{air}(\frac{4}{3}\pi R^{3}-V))g

On obtient ainsi \frac{4}{3}\pi R^{3}(\rho_{eau}-\rho_{air})=V(\rho_{eau}-\rho_{air})

Soit V=\frac{4}{3}\pi R^{3} !

Qu’est-ce que ça veut dire ? Le volume de l’eau à verser est égal au volume total du ballon ? Pas besoin de mettre de l’air ? On voit qu’apparemment le ballon doit être rempli d’eau pour qu’il y ait équilibre. C’est impossible ! Où est l’erreur ?

En réalité c’était évident dans la mesure où on a négligé l’enveloppe en plastique du ballon. Le ballon était alors équivalent à une sphère d’eau et d’air. La seule façon pour qu’il y ait équilibre est donc que la sphère soit faite uniquement d’eau, car la moindre parcelle d’air aurait agi comme une bulle et fait remonter le système ! C’est ce qu’on a retrouvé par le calcul ! L’hypothèse 3 était fausse.

On constate que ce modèle est insuffisant pour traiter le problème : en pratique, le plastique composant le ballon ayant une masse et une épaisseur non nulle, remplir le ballon d’eau ne permettra pas l’équilibre mais au contraire le fera couler vers le fond de l’aquarium.

Conclusion : on aurait pu s’épargner beaucoup de travail en réfléchissant correctement à notre hypothèse de négliger la masse du plastique. La prochaine fois, faisons attention !

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Source

Deuxième modèle

On considère désormais que le ballon a une épaisseur e\ll R, un rayon intérieur R et donc un rayon extérieur R+e, et que le plastique utilisé pour former le ballon a une masse volumique \mu. Le ballon est toujours soumis aux mêmes forces que précédemment.

P=mg=(m_{air}+m_{eau}+m_{plastique})g

avec cette fois : m_{plastique}=\mu V_{plastique}

Le volume du plastique correspond au volume contenu entre deux sphères de rayon R et R+e. Donc V_{plastique}=\frac{4}{3}\pi((R+e)^{3}-R^{3})\simeq 4\pi eR^{2} si on ne garde que les termes qui contiennent e une seule fois (les autres termes sont négligeables, on parle alors de développement à l’ordre 1).

En réalité le ballon est constitué de 8 pièces de cuir cousues autour d’une chambre à air. Mais on va continuer à dire que l’enveloppe est du plastique, quitte à considérer une masse volumique \mu équivalente à l’ensemble chambre à air + cuir.

On a toujours m_{eau}=\rho_{eau}V et  m_{air}=\rho_{air}(\frac{4}{3}\pi R^{3}-V).

Donc P=(4\pi\mu eR^{2}+\rho_{eau}V+\rho_{air}(\frac{4}{3}\pi R^{3}-V))g.

D’autre part la poussée d’Archimède est la même :

\Pi=\frac{4}{3}\pi (R+e)^{3}\rho_{eau}g

(car le volume total est une boule de rayon R+e).

Comme précédemment, on égalise ces deux termes (les deux forces se compensent), et un petit calcul mène à :

V=\frac{4}{3}\pi R^{3}-4\pi e R^{2}\frac{\mu-\rho_{eau}}{\rho_{eau}-\rho_{air}}

On voit que le volume d’eau à verser pour qu’il y ait équilibre est égal au volume de ballon, moins un terme. C’est ce qu’on attendait. On doit bien sûr avoir \frac{\mu -\rho_{eau}}{\rho_{eau}-\rho_{air}}>0 pour que le volume d’eau ajouté dans le ballon ne doit pas être supérieur au volume que peut contenir le ballon. On doit donc avoir soit \mu>\rho_{eau}>\rho_{air}, soit \rho_{air}>\rho_{eau}>\mu. Est-ce possible ?

On a en fait :

\rho_{air}=1,20 kg/m^{3}
\rho_{eau}=1000 kg/m^{3}
\mu=1100-1200kg/m^{3} (en considérant que l’enveloppe est faite en caoutchouc). (J’ai trouvé ces valeurs ici).

Notre inégalité est donc vérifiée, et tout devrait marcher correctement ! Une petite application numérique pour savoir combien mettre d’eau dans notre ballon :

On prend :

R=12,2 cm
e=1 mm
\rho_{air}=1,20 kg/m^{3}
\rho_{eau}=1000 kg/m^{3}
\mu=1100-1200kg/m^{3}

Et on obtient :

V_{eau}=7,57 L avec V_{total}=7,61 L, soit uniquement 3 cL d’air ! Donc pour maintenir un ballon en équilibre dans de l’eau, il faut le remplir majoritairement d’eau, et mettre un peu d’air pour compenser le poids du plastique !

 

Quelques remarques pour finir

  • On pourra essayer de faire l’expérience ! Peut-être que 3 cL d’air c’est trop peu pour que l’expérience réussisse en pratique, on pourra alors essayer de remplir le ballon avec un autre liquide plus lourd : les calculs restent les mêmes, seule la masse volumique change !
  • En réalité, Feynman a eu une autre idée pour maintenir le ballon en équilibre. Plutôt que de plonger le ballon dans de l’eau pure, il s’agit en réalité d’eau salée ! (L’hypothèse 1 était fausse !) Et si on s’arrange pour que le sel ait tendance à descendre dans l’aquarium (en introduisant l’eau par couches successives), il existe un gradient de concentration en sel le long de l’axe vertical (la concentration en haut salée est plus forte en bas qu’en haut) et donc un gradient de masse volumique dans le bassin, qui permet une plus grande stabilisation du ballon ! Bref une situation un peu plus compliquée puisque la masse volumique n’est pas homogène dans l’aquarium… A voir dans un prochain billet !

 

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