Le monde de Fourier – WUS#11

Aujourd’hui, on se retrouve pour parler un peu d’un outil mathématique très utile dans beaucoup de domaines de la physique : ce qu’on appelle l’analyse de Fourier. Non seulement c’est très pratique, mais ça permet d’avoir un point de vue nouveau sur les choses ! Comment représenter différemment un son ou un signal électrique, comment résoudre des équations plus facilement, voyons comment c’est possible avec Fourier !

Mais avant d’aller plus loin et de parler de l’analyse de Fourier, on va faire un point rapide sur les nombres complexes.

Les nombres complexes

Il y a une manière simple de représenter les grands ensembles de nombres que l’on connaît, qui parle d’elle-même.

La théorie qui régit tout ça s’appelle la théorie des ensembles. Disons simplement qu’il existe différents types de nombres. Par exemple les nombres entiers, 1,2,3,… appelés entiers naturels et notés \mathbb{N}, et si on compte également les nombres -1,-2,-3,…, on parle de nombres entiers relatifs, et on les note \mathbb{Z}. Un ensemble « plus grand » (notons que tous ces ensembles comportent un nombre infini d’éléments) est l’ensemble des nombres rationnels, \mathbb{Q}, qui contient tous les nombres qui peuvent se mettre sous forme de fraction. Bien sûr, les nombres entiers sont des nombres rationnels, il y a une relation d’inclusion entre l’ensemble des rationnels et celui des entiers. On retrouve ensuite \mathbb{R}, l’ensemble des réels.

ensembles

On peut construire un autre ensemble, celui des nombres complexes, noté \mathbb{C}, qui s’appuie sur la propriété du nombre i, tel que i^{2}=-1. Oui, on a bien le carré d’un nombre qui vaut -1 ! Attention, ce n’est pas pour autant qu’on va écrire \sqrt{-1}=i, déjà les matheux n’aiment pas trop, et en plus si on réfléchit bien on voit que (-i)^{2}=(-1)^{2}\times(i^{2})=1\times -1=-1 également, donc deux nombres peuvent correspondre à la racine de -1, ce qui pourrait créer des ambiguités !

A partir de ce nouveau nombre, on peut en construire plein d’autres à partir de ceux qu’on connaît déjà, et l’ensemble des nombres complexes est donc l’ensemble des nombres z qui peuvent s’écrire sous la forme z=a+iba et b sont des nombres réels. a est appelé la partie réelle et b la partie imaginaire. Un nombre réel a donc une partie imaginaire nulle.

Que représentent ces nombres complexes dans la réalité ? Pas grand-chose à vrai dire, car si on voit bien ce que représenter un nombre réel (une longueur, un temps, une surface, une vitesse par exemple), c’est plus difficile de trouver quelque chose qui corresponde à ces nombres « complexes » voire « imaginaires » (quand ils ne comportent pas de partie réelle). Ce qui pose une question intéressante, puisque ces nombres, qui relèvent plus de l’abstraction que du concret, ont une utilisation tout à fait pratique en physique, et permettent de rendre compte de phénomènes qu’on observe expérimentalement (toute la mécanique quantique repose sur ces nombres complexes, notamment). Contentons-nous de les considérer comme des outils mathématiques.

Une dernière chose concernant les nombres complexes, on peut les écrire de différentes manières : on peut écrire z=a+ib mais aussi z=r\exp(i\theta)r est un nombre réel positif ou nul appelé le module de z et \theta un réel compris entre 0 et 2\pi appelé l’argument de z. Ces deux écritures sont équivalentes, car on peut montrer que \exp(i\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta), si bien qu’on peut retrouver a=r\cos(\theta) et b=r\sin(\theta).

 

Joseph Fourier

Fourier007

Né en 1768 à Auxerre, Jean-Joseph Fourier est le fils d’un garçon-tailleur qui a eu 16 enfants. Orphelin à 11 ans, il est pris en charge par l’Eglise d’Auxerre. Elève brillant, c’est à cette époque qu’il découvre les sciences, et il est nommé professeur à  16 ans dans les petites classes du collège militaire d’Auxerre, période à partir de laquelle il commence ses recherches en mathématiques. Il souhaite poursuivre sa voie dans les sciences en tant qu’officier, mais il en est empêché car il n’est pas noble, malgré le soutien du mathématicien Legendre. Il devient professeur de mathématiques, et choisit tout d’abord de ne pas s’engager politiquement au cours de la révolution de 1789, bien que partageant les idées révolutionnaires. Mais lorsque l’Autriche déclare la guerre à la France, il s’engage, et bien qu’il soit rapidement déçu par le chaos des arrestations et quitte la politique, il finit par se faire emprisonner sous la Terreur. Destiné à se faire guillotiner, il en échappe de justesse grâce à la chute de Robespierre survenue quelques jours après son arrestation.

Il entre alors à la toute nouvelle Ecole Normale Supérieure et devient rapidement directeur des conférences de mathématiques, puis devient professeur à la jeune Ecole Polytechnique, réputé bon professeur. Il fait alors partie des savants dépêchés par Bonaparte pour aller en Egypte, et y rédige aussi bien des mémoires de mathématiques fondamentales que de mathématiques appliquées et d’ingénierie, chargé par Bonaparte de promouvoir le progrès en Egypte. Il acquiert un poste équivalent à celui de gouverneur de la Basse-Egypte, prenant également part à des expéditions scientifiques et s’intéressant à la civilisation égyptienne. Pris en otage par les Anglais qui veulent conquérir l’Egypte, il rentre en France où Bonaparte le nomme préfet de l’Isère et lui confie la direction de grands travaux d’aménagement. Il rencontre Champollion, alors étudiant, avec qui il se lie, et lui permet d’étudier une copie de la pierre de Rosette.

Destitué par Napoléon puis par le nouveau Régime, il est malgré tout élu à l’Académie des Sciences en 1817 et devient très actif scientifiquement, il introduit la notation usuelle \Sigma pour les sommes, et publie sa Théorie de la chaleur en 1822, théorie décrivant la propagation de la chaleur. Pour résoudre cette équation, il développe toute une théorie mathématique connue aujourd’hui comme l’analyse de Fourier, ouvrant ainsi la voie à une nouvelle vision de la physique. Egalement élu à l’Académie Française et la Royal Society, il meurt en 1830.

 

Les séries de Fourier

L’idée est la suivante : tout signal périodique peut se décomposer comme une somme (souvent infinie) de sinus et de cosinus. La période de ces « signaux de base » sinusoïdaux est par ailleurs un multiple de la période du signal considéré.

Concrètement, un exemple : on considère un signal créneau, qui change toutes les secondes entre une valeur -1 et une valeur +1. (Ce signal est périodique.) Il existe des formules mathématiques (énoncées par Fourier) permettant d’exprimer ce signal créneau comme une somme infinie de signaux sinusoïdaux !

s(t)=\displaystyle\frac{4}{\pi}\left(\sin(2\pi t)+\frac{1}{3}\sin(6\pi t)+\frac{1}{5}\sin(10\pi t)+\dots\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin((2n+1)2\pi t)}{2n+1}

C’est ce qu’on appelle un développement en série de Fourier.

Pour vous en convaincre, j’ai codé un petit programme en Python illustrant qu’en sommant successivement ces signaux sinusoïdaux, on finit par obtenir la forme du signal voulu !

GIF Creneau

Un point très important : on peut désormais représenter le signal créneau différemment. En effet, plutôt qu’une représentation temporelle, on peut ne considérer que les fréquences des sinus et des cosinus, qui sont toutes associées à un terme de la somme, terme qui a également une certaine amplitude. Si on trace l’amplitude de chaque composante fréquentielle, on obtient ce qu’on appelle le spectre de Fourier du signal.

spectre creneau

La représentation spectrale (ou fréquentielle) et la représentation temporelle représentent exactement le même signal, les espaces temporels et fréquentiels étant équivalents ! En fait, pour ceux qui ont suivi mon billet sur les vecteurs, dans l’espace euclidien des fonctions périodiques (où les fonctions sont des vecteurs !), les sinus et les cosinus forment une base, et c’est pourquoi on peut décomposer de manière unique chaque fonction périodique dans cette base !

 

Quelques commentaires sur le spectre de notre signal créneau : on observe un pic principal, à la fréquence du signal, on l’appelle le mode fondamental. Puis les autres pics de fréquence multiples sont appelés les harmoniques ! La décroissance des composantes est en 1/r (en rouge sur le graphe), c’est-à-dire que l’amplitude des harmoniques décroit comme l’inverse d’un multiple de la fréquence fondamentale. Cela nous permet d’estimer le nombre d’harmoniques à sommer pour que le signal ressemble suffisamment au signal créneau qu’on veut obtenir. Par exemple, si on voulait obtenir un signal triangulaire, le calcul des composantes spectrales nous donnerait une décroissance des harmoniques en 1/r^{2}, c’est-à-dire que l’amplitude des harmoniques décroit plus rapidement, et il faudrait donc sommer moins d’harmoniques pour que le signal ressemble fortement à un signal triangulaire. C’est logique si on se dit qu’un triangle ressemble plus à un sinus qu’un signal créneau.

Il faut retenir aussi que les composantes basses fréquences représentent ce qui varie lentement, la forme générale du signal, tandis que les hautes fréquences représentent les événements plus brusques et plus rapides. On le voit bien sur l’image : quand on commence à sommer plus de composantes, et donc des composantes haute fréquence, on finit par retrouver la variation brusque entre +1 et -1.

 

Les intégrales de Fourier

Je vais passer rapidement parce qu’on n’a pas encore introduit l’intégrale dans ce blog, mais disons simplement qu’il existe une généralisation de ce que je viens de dire pour des signaux non périodiques. A partir d’une fonction f qui dépend du temps, on peut obtenir une autre fonction qui représente f dans un espace fréquentiel, appelée la transformée de Fourier. La fréquence caractéristique du signal spectral correspond à l’inverse de la période caractéristique su signal temporel. La transformée de Fourier permet de connaître les fréquences principales d’un signal non périodique (fréquences qui ne seront dès lors plus discrètes et multiples d’une fréquence fondamentale mais continues).

 

Toute une vision spectrale : quelques exemples

Bon alors c’est bien beau mais à quoi ça va nous servir tout ça ?

Déjà, à résoudre des équations ! Si on a une équation linéaire, un moyen simple d’obtenir des conclusions intéressantes c’est d’essayer de trouver des solutions sinusoïdales, puisque tout signal périodique peut se décomposer comme une somme de sinusoïdes. Concrètement, si on a une équation qui déduit la propagation d’ondes, on injecte une solution de forme sinusoïdale, ou plutôt une exponentielle complexe \exp(i2\pi ft) (c’est plus simple pour faire des calculs) dont on prendra la partie réelle ensuite pour obtenir une solution qui correspond à la réalité – on a vu dans la partie sur les nombres complexes que prendre des sinus et des cosinus ou prendre une exponentielle était équivalent.

C’est exactement ce qu’on fait en électronique, puisqu’on a souvent des signaux périodiques : on étudie la réponse d’un système à une composante sinusoïdale de fréquence f. Souvent la réponse dépend de la fréquence (typiquement lorsqu’on envoie un signal électrique à un filtre, il va laisser passer certaines fréquences et en bloquer d’autres) si bien qu’on peut déduire la réponse du système à n’importe quel signal périodique ! On peut aussi tracer le spectre d’un signal non périodique :

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Le spectre d’un signal en électronique

De même en électromagnétisme : une onde électromagnétique monochromatique est une onde à une fréquence donnée, et on se sert de ce modèle d’onde « de base » pour en déduire des caractéristiques du champ électromagnétique, dans le vide ou dans un milieu quelconque, en étudiant la réponse fréquentielle du milieu.

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La structure d’une onde électromagnétique dans le vide

Qu’est-ce qu’un son ? Un son est une vibration de l’air, une onde de pression qui se propage. Typiquement, une note musicale est un signal sinusoïdal, un son à une certaine hauteur, c’est-à-dire une certaine fréquence. Quand on parle du la à 440Hz, il s’agit en fait de la fréquence de la sinusoïdale qui propage le son ! Ainsi désormais, plutôt que de représenter une note comme un sinus qui varie dans le temps, on peut représenter sur un spectre un pic à une certaine fréquence. Et éventuellement d’autres pics qui correspondent aux différentes harmoniques de ce son (ce sont ces harmoniques qui différencient le son d’un piano et celui d’une guitare).

spectre musique
Le spectre d’un signal audio obtenu via le logiciel Audacity

Sur le lecteur musical Foobar 2000 (libre de droits !) vous pouvez, lorsque vous écoutez une musique, afficher le spectrogramme du son que vous écoutez : à chaque instant, le logiciel calcule et affiche les différentes composantes spectrales du son, et c’est comme si on visualisait en direct la partition !

Spectrogramme Billie Holiday

Ci-dessus le spectrogramme de I’m yours, de Billie Holiday, pendant quelques secondes. La fréquence va de bas en haut, et le temps défile de gauche à droite. Plus le signal est blanc, plus l’intensité du son est importante. On voit donc les basses en bas, et on voit même les trémolos dans la voix de Billie Holiday ! Avec toutes les harmoniques aux fréquences supérieures.

On retrouve la notion de spectre dans de très nombreux domaines de la physique. Il faut savoir que de nos jours on sait très bien mesurer des fréquences, on peut le faire très précisément. Notamment, la théorie quantique affirme que les molécules émettent des ondes à certaines fréquences qui leur sont propres. En sondant l’intensité des ondes en fonction de la fréquence dans un milieu donné, on peut donc parvenir à en déduire la composition d’un milieu ! C’est le domaine de la spectroscopie, qui est aussi bien utilisé pour analyser la composition d’un échantillon de nourriture que la composition d’une comète !

Bref, je pourrais également citer la reconnaissance vocale, le traitement des images, le scanner médical, la cristallographie et les transmissions numériques : l’analyse harmonique est utilisée partout en théorie du signal.

 

Voilà pour ce billet ! N’hésitez pas à poser des questions dans les commentaires. On se quitte sur cette citation du physicien Sophus Lie, que j’aime bien : si la vie est complexe, c’est qu’elle comporte une partie réelle et une partie imaginaire

Sources iconographiques

L’image de James Bond

http://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/images/articles/numerisation-acoustique2/velo-spectre

http://culturesciences.chimie.ens.fr/nodeimages/images/dossiers-dossierstransversaux-Imagerie_Medicale-Radiographie_Principe_Simand.png

Une biographie de Joseph Fourier plus pousséehttp://joseph.fourier.free.fr/index.htm

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