L’homogénéité en physique – WUS#12

Ou comment vérifier la pertinence de ses résultats !

Bonjour à tous,

Cette semaine, place à un sujet tout aussi transversal qu’important en physique : l’homogénéité. Comment savoir si une formule est fausse ? Comment savoir si une formule est cohérente ? C’est ce que nous allons voir dans ce billet ! Nous avons parlé d’unité et de grandeur, de système international, d’analyse dimensionnelle et de théorème pi !

eau-huile
Ce mélange est-il homogène ?

Unité, dimension et système international

La différence entre unité et dimension n’est pas toujours facile à saisir dès le début. Considérons une grandeur quelconque, que l’on notera l. On peut alors dire que cette grandeur l n’a qu’une seule dimension, mais peut s’exprimer avec plusieurs unités. Par exemple, si la grandeur l est une longueur, on peut dire que l=1m, ou encore l=39,37 pouces ou bien l=5,4.10^{-4} nm (nm : mille marin). Bref, on a une seule grandeur l qui peut s’exprimer sous plusieurs unités, et la valeur de cette grandeur dépend de l’unité dans laquelle on la mesure. Mais contrairement à la valeur d’une grandeur, qui dépend donc de l’unité choisie, la dimension est propre à la grandeur considérée. Par exemple, dans le cas de la grandeur l, on dit que sa dimension est une longueur, et quelle que soit la valeur de cette longueur, l restera une longueur et ne deviendra pas un temps ou une masse par exemple.

Une autre façon d’exprimer cette différence entre dimension et unité est de dire qu’une dimension peut se rapporter à plusieurs unités, mais qu’une unité ne peut se rapporter qu’à une seule dimension.

Une conséquence qui paraît naturelle est qu’on peut comparer deux grandeurs ayant la même dimension, mais on ne peut pas comparer deux grandeurs ayant des dimensions différentes : je paye un verre au premier qui réussit à comparer une longueur avec une température ! 🙂

Cette distinction entre dimension et unité va être importante pour appréhender ce que l’on appelle, en physique, l’analyse dimensionnelle. Mais avant ça, on va parler des unités du système international.

Le système international est un système d’unités très utilisé. Il est composé de sept unités de base à partir desquelles on peut obtenir toutes les autres unités (!), qu’on appellera unités dérivées. Ces 7 unités de base se rapportent à 7 grandeurs, qui sont :

  • La masse, souvent notée m, dont l’unité SI est le kilogramme (kg) ;
  • Le temps, souvent noté t, dont l’unité SI est la seconde (s) ;
  • La longueur, souvent notée l, r, d…, dont l’unité SI est le mètre (m) ;
  • La température, souvent notée T ou \theta, dont l’unité SI est le Kelvin (K) ;
  • L’intensité électrique, souvent notée i ou I, dont l’unité SI est l’ampère (A) ;
  • La quantité de matière, souvent notée n, dont l’unité SI est la mole (mol) ;
  • L’intensité lumineuse, souvent notée I_{V}, dont l’unité Si est le candela (cd).

L’analyse dimensionnelle

Les sept grandeurs précédentes peuvent être associées à sept dimensions de base. Pour simplifier, on va se limiter aux trois premières : masse, temps et longueur.

L’analyse dimensionnelle consiste à exprimer une grandeur en fonction des dimensions de base. Prenons l’exemple de la grandeur vitesse. Une vitesse (que l’on notera V) est souvent exprimée en km/h ou en m/s, ce qui correspond, en termes de dimension, à une « longueur divisé par un temps ». En analyse dimensionnelle, on écrit souvent [V]=L/T ou [V]=L.T^{-1}.

Concrètement, qu’a-t-on fait ? On a exprimé la dimension de la grandeur vitesse, dimension qu’on a noté [V] (symbole de la grandeur entre crochets) en fonction des dimensions de base longueur et temps, qu’on a symbolisé par L et T. C’est ce qu’on appelle l’analyse dimensionnelle.

Prenons un autre exemple. Exprimons la dimension de la grandeur force, qu’on symbolisera par la lettre F. Pour ce faire, prenons une force que l’on sait exprimer. Le poids par exemple ! Le produit de la masse par l’accélération de la pesanteur, ou encore F=m \times g. La dimension de m est une masse, donc [m]=M, et celle de g est une longueur divisé par un temps au carré, soit [g]=L.T^{-2}. Ainsi, la dimension de la grandeur force est [F]=M. L.T^{-2}.

Maintenant qu’on connaît la dimension de la grandeur force, on peut vérifier que les résultats d’un problème physique sont vrais. Par exemple, on cherche à exprimer la force de rappel d’un ressort, et on trouve F=k \times x^{2}. Avec k la constante de raideur, en N/m. Eh bien c’est faux ! Pourquoi ? Parce que [k \times x^{2}]=M. L^{2}.T^{-2}, et ce n’est pas de la dimension d’une force : ce n’est pas homogène à une force. Grâce à l’analyse dimensionnelle, on sait tout de suite que notre formule est fausse et qu’il ne sert à rien d’aller plus loin dans les calculs.

L’analyse dimensionnelle permet aussi de savoir si une formule est cohérente, si elle est homogène. C’est pourquoi ce procédé est très utilisé en physique. Mais elle ne permet pas vraiment de savoir si une formule est vraie. En effet, la dimension d’une grandeur g et celle de la même grandeur g multipliée par une constante sans dimension (on dit que cette constante est de « dimension 1 ») sont les mêmes !

Un exemple : le théorème de Vaschy-Buckingham, ou le théorème pi

On a vu que l’analyse dimensionnelle permet de voir si une relation entre différentes grandeurs est cohérente ou au contraire fausse. Elle permet aussi de déterminer des relations entre différentes grandeurs ! Regardons cela avec le théorème de Vaschy-Buckingham, aussi appelé théorème pi.

Soit un phénomène physique décrit par une relation (1) f(p_{1}, p_{2},..., p_{n})=0 faisant intervenir n grandeurs p_{i}. Si k désigne le nombre de dimensions fondamentales nécessaires pour définir les grandeurs p_{i}, alors la relation (1) peut se mettre sous la forme g(\Pi_{1},\Pi_{2},...,\Pi_{n-k})=0. Les \Pi_{i} désignent des groupements, indépendants et sans dimension, des n variables initiales.

Illustrons tout de suite ce théorème sur un exemple. Prenons une aile d’avion, et essayons de déterminer l’expression de la résultante aérodynamique de cette aile.

NACA 0012 portance traînée 2

Pour rappel du billet sur le paradoxe de d’Alembert , lorsqu’on place une aile avec une certaine incidence \alpha dans un écoulement d’air uniforme de vitesse V_{\infty}, l’air exerce un effort sur cette aile, que l’on appelle résultante aérodynamique. Cette force peut se décomposer en effet normal à la vitesse incidente, la portance (\vec{L}), un effort tangentiel à cette vitesse, la traînée (\vec{D}). Et c’est cette résultante que l’on cherche à déterminer. Commençons par exemple par la portance.

1. Il faut d’abord déterminer les grandeurs qui interviennent dans le phénomène, ici l’écoulement d’air autour du profil produisant la force de portance. Mais comment ? Il n’y a pas de recette magique, il faut s’aider de son sens physique, de l’expérience. L’intuition peut aussi être très précieuse ! Alors ici, qu’est-ce qui va faire que l’on va avoir plus ou moins de portance ? Déjà, on sent bien que l’incidence \alpha et la vitesse V_{\infty} va jouer : un avion, pour décoller, ne cherche-t-il pas à avoir une grande vitesse et à être le plus incliné possible ? Par ailleurs, on peut se dire que la taille du profil d’aile (sa corde c) va jouer. Enfin, on a considéré un écoulement d’air, et pas d’eau ou encore de miel. On avait vu dans le billet sur le paradoxe de d’Alembert que ces fluides n’avaient pas les mêmes propriétés, notamment au niveau des masses volumiques et des viscosités cinématiques. Il y a de fortes chances pour que le type de fluide influe sur la portance, ces deux paramètres seront aussi à prendre en compte.

Finalement, on se retrouve avec la relation (1) : f(D, \alpha, V_{\infty}, \rho, \mu, c)=0. On a donc n=6 grandeurs.

2. Maintenant, déterminons le nombre de dimensions intervenant dans notre problème. Pour cela, procédons par analyse dimensionnelle !

[D]=M.L.T^{-2}

[\alpha]=1

[V_{\infty}]=L.T^{-1}

[\rho]=M.L^{-3}

[\mu]=M.L^{-1}.T^{-1}

[c]=L

Les dimensions qui apparaissent sont la masse M, la longueur L et le temps T. On a donc k=3 dimensions.

3. On va donc chercher à former, conformément au théorème Pi, n-k=3 groupements des variables initiales. Pour ce faire, on choisit k=3 grandeurs dimensionnellement indépendantes parmi les variables initiales. Prenons par exemple \rho, \mu et V_{\infty}. On forme les \Pi_{i} : on réalise le produit de ces trois variables (affectées d’exposants que l’on cherchera à déterminer) avec une des deux autres variables restantes. Plus concrètement,

\Pi_{1}=\rho^{a_{1}} \times \mu^{a_{2}} \times V_{\infty} \, ^{a_{3}} \times \alpha

\Pi_{2}=\rho^{b_{1}} \times \mu^{b_{2}} \times V_{\infty} \, ^{b_{3}} \times c

\Pi_{3}=\rho^{d_{1}} \times \mu^{d_{2}} \times V_{\infty} \, ^{d_{3}} \times D

4. Maintenant les \Pi_{i} formés, on cherche à les rendre sans dimension. Pour ce faire, il faut déterminer les combinaisons d’exposants qui permettent de rendre ces groupements sans dimension. Prenons par exemple \Pi_{2}. On sait que seules trois dimensions (M, L, T) apparaissent dans \Pi_{2}, donc on cherche à ce que :

[\Pi_{2}]= M^{0}.L^{0}.T^{0}

Or [\Pi_{2}]= (M.L^{-3})^{b_{1}} \times (M.L^{-1}.T^{-1})^{b_{2}} \times (L.T^{-1})^{b_{3}} \times L

Soit [\Pi_{2}]= M^{b_{1}+b_{2}}.L^{-3b_{1}-b_{2}+b_{3}+1}.T^{-b_{2}-b_{3}}

Cela revient à résoudre le système

\{b_{1}+b_{2}=0, -3b_{1}-b_{2}+b_{3}+1=0, -b_{2}-b_{3}=0\}

Ce qui donne b_{1}=-b_{2}=b_{3}=1

Et donc \Pi_{2}= \frac{\rho \times V_{\infty} \times c}{\mu} : c’est le nombre de Reynolds ! C’est un nombre adimensionnel qui correspond au rapport des forces d’inertie sur les forces visqueuses, et qui permet en pratique de déterminer le régime de l’écoulement : si Re \ll 1, on dit que l’écoulement est laminaire et si Re \gg 1, on dit que l’écoulement est turbulent. Mais nous aurons l’occasion de revenir sur ces deux notions !

De même que pour [\Pi_{2}], on peut montrer que [\Pi_{1}]=\alpha et [\Pi_{3}]=\frac{\rho \times L}{\mu^{2}}.

Au final, la relation (1) : f(D, \alpha, V_{\infty}, \rho, \mu, c)=0 peut se réécrire g(\frac{\rho \times L}{\mu^{2}}, \alpha, Re). Ou encore \frac{\rho \times L}{\mu^{2}}=h(\alpha, Re).

Souvent, on adimensionne L de la façon suivante : \frac{D}{\frac{1}{2} \times \rho V_{\infty} c^{2}}. (La façon d’adimensionnaliser dépend des grandeurs choisies arbitrairement précédemment, le choix des grandeurs n’était donc pas optimisé pour obtenir la forme « classique » de l’expression de la portance).

Ce qui donne, finalement : \frac{D}{\frac{1}{2} \times \rho V_{\infty} c^{2}} = h(\alpha, Re). On voit que la portance peut s’exprimer de la façon suivante : D= c_{L} \times \frac{1}{2} \rho V_{\infty} c^{2} avec c_{L}, que l’on appelle coefficient de portance, sans dimension et qui dépend de l’incidence et du nombre de Reynolds. Regardons cela sur la courbe du coefficient de portance en fonction de l’incidence.

Polaire

On constate sur cette courbe que le coefficient de portance augmente d’abord linéairement avec l’incidence, puis semble diminuer : c’est le décrochage, l’incidence est trop importante, l’écoulement autour de l’aile décroche et la portance s’effondre. Mais on constate aussi que l’incidence pour laquelle le décrochage apparaît dépend du nombre de Reynolds : elle est d’autant plus grande que celui-ci est important.

 

Le théorème Pi nous a donc permis d’obtenir l’expression de la portance d’une aile et ses dépendance, et le tout à partir d’un peu de sens physique mais surtout de l’analyse dimensionnelle !

C’est tout pour ce billet, un peu riche en équations, mais j’espère qu’il vous a quand même plu !

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