Un (tout petit) peu de maths part.3 – WUS#13

Bonjour ! C’est le troisième et dernier billet d’introduction aux mathématiques pour la physique, il nous reste à parler d’intégration ! Comme d’habitude, je vais plutôt essayer de  vous donner une bonne intuition de ce que c’est plutôt que d’en faire une construction mathématique rigoureuse, bien que cette deuxième option ne manque pas d’intérêt non plus. Très souvent d’ailleurs les constructions mathématiques s’appuient sur des idées intuitives, bien sûr !

L’aire d’une surface

Commençons par un peu de géométrie très simple. On cherche à calculer l’aire de différentes surfaces. Commençons par le rectangle bleu ci-dessous, de longueur x et de largeur y. L’aire du rectangle est bien sûr : A=x*y.Capture1

Maintenant prenons une autre surface, constituée de trois rectangles, comme sur la figure qui suit :

Capture2

Sans faire le calcul, on sait que l’aire de la surface totale est égale à la somme des aires de chacun des rectangles A=A_{1}+A_{2}+A_{3}.

On a pris comme exemple des surfaces très simples à calculer puisqu’elles étaient constituées de plusieurs rectangles. Mais que se passe-t-il dans le cas d’une surface plus compliquée ?

Capture3

Comment calculer l’aire de cette surface ? Une idée simple consiste à la calculer de manière approchée en découpant cette surface en plein de petits rectangles. C’est sur cette idée que repose toute l’intégration.

Capture4

J’ai donc découpé ma surface en plusieurs rectangles, en essayant de faire en sorte que la surface bleue qui n’est pas incluse dans les rectangles rouges soit « compensée ». En clair, pour le deuxième rectangle rouge par exemple, qui est censé représenter (dans l’idéal) toute la surface entre les points b et c : comme toute la surface n’est pas exactement incluse on s’arrange pour qu’il y ait autant de surface qui dépasse du rectangle que de surface en trop dans le rectangle.

On peut alors raisonnablement affirmer que l’aire de la surface bleue est à peu près égale à la somme des aires des rectangles rouges.

Mais alors comment déterminer l’aire de la surface beaucoup plus précisément ?

Et bien on reprend la même idée mais on utilise des rectangles beaucoup plus fins, tous de même épaisseur, quitte à en utiliser beaucoup !

Capture5

Donc dans ce genre de cas, si on somme les aires de tous les rectangles, on a une valeur plus précise de l’aire totale de la surface bleue, parce que les rectangles collent plus à la courbe.

Maintenant comment exprimer cette aire mathématiquement ? Déjà, en notant A l’aire bleue à calculer, on peut approximativement la calculer grâce à nos rectangles.

A\approx \displaystyle\sum_{k=1}^{n}A_{k} où les (A_{1},\dots,A_{n}) sont les aires des différents rectangles. Sur le schéma j’ai pris des rectangles de même épaisseur (parce que c’est plus pratique), donc s’il y en a un nombre n alors l’épaisseur de chaque rectangle est donc ep=\frac{g-a}{n}. Il ne reste donc plus qu’à estimer la hauteur de chaque rectangle pour obtenir son aire.

On peut alors remarquer que le contour supérieur de l’aire bleue peut s’exprimer comme une fonction f qui dépend de l’abscisse x :

Capture6

Ainsi la hauteur du rectangle d’abscisse x est environ la valeur de la fonction f au point x. On suppose désormais qu’on connaît l’expression de la fonction en fonction de x.

Donc la valeur de l’aire d’un rectangle rouge est : A_{k}=(\mathrm{largeur}*\mathrm{hauteur}) soit A_{k}=\frac{b-a}{n}*f(x_{k})x_{k} est l’abscisse du k-ième rectangle, soit k*\frac{b-a}{n}.

Finalement,

A\approx \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{b-a}{n}*f(x_{k})

soit A\approx \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{b-a}{n}*f\left( k*\frac{b-a}{n}\right)

On a fait le plus dur ! On a réussi à avoir une valeur approchée de l’aire initiale, qui dépend du nombre n de rectangles que l’on considère. On a vu que plus n est grand, plus la valeur de l’aire obtenue est précise. Donc pour avoir la valeur exacte de la surface, il faut avoir une infinité de rectangles. On fait tendre n vers l’infini. Et cette méthode des rectangles permet alors de définir ce qu’on appelle l’intégrale de Riemann, qui donne l’aire de la surface délimitée par la fonction f :

A=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{b-a}{n}*f\left( k*\frac{b-a}{n}\right)

On note alors A=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \,\mathrm{d}x. Le symbole intégral \displaystyle\int n’est rien de plus qu’un signe somme, sauf qu’on somme sur tellement de rectangle qu’on est passé d’une somme discrète qu’on peut dénombrer à une somme continue qu’on ne peut plus dénombrer. C’est comme si chaque rectangle avait une largeur infinitésimale \mathrm{d}x et une hauteur f(x), en tout point x du segment [a,b].

On peut alors appliquer cette méthode à un grand nombre de surface, si tant est qu’on connaisse l’expression de la fonction f. Si jamais la surface considérée dépasse l’axe des x et prend des valeurs négatives, on peut appliquer le même raisonnement. Intégrer, c’est sommer sur plein d’éléments infinitésimaux !

Petite pause ici : on a donc une manière de calculer l’aire d’un grand nombre de surface. Si on réfléchit bien, on peut faire la même chose pour les trois axes de l’espace et calculer des volumes (c’est la même méthode, on fait comme si on décomposait un volume en petits parallélépipèdes dont la largeur et la hauteur suivent des variations connues). Mais on peut faire bien plus avec l’intégration !

 

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Pause visuelle sans aucun rapport : Le fameux champ profond de Hubble : Région de l’hémisphère nord de la sphère céleste située dans la constellation de la Grande Ourse, couvrant à peu près un 30 millionièmes de la surface du ciel, et qui contient environ 3 000 galaxies de faible luminosité et photographiée par le télescope spatial Hubble en 1995. L’image résulte du traitement et d’un montage obtenu à partir d’une collection de 342 photographies élémentaires prises avec la caméra à large champ du télescope spatial Hubble. Cette prise de vue s’est étalée sur 10 jours consécutifs du 18 au 28 décembre 1995. (Wikipedia)

 

Intégrer une fonction

Petit jeu. On va prendre une fonction connue, et l’intégrer petit à petit, c’est-à-dire qu’on va progressivement sommer la valeur de la fonction. Vous allez comprendre.

Voici tout d’abord la fonction.

Capture7

Une fonction a priori bien anodine, avec deux pics, bon. Maintenant on va tracer sur un autre graphique l’aire sous la courbe de f en fonction de x. Ça revient, on l’a vu, à sommer progressivement chaque valeur de la fonction f sur un petit élément dx, on va donc tracer l’intégrale de la fonction en fonction de x.

On écrit :

F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(u) \,\mathrm{d}u.

Petite subtilité ici : contrairement à tout-à-l’heure, la variable dans l’intégrale n’est plus x mais u : en fait on dit que c’est une variable muette, typiquement quand on calcule l’aire d’une surface le résultat final ne dépend pas du nom qu’on a attribué à la variable sur laquelle on a sommé. Ici c’est pareil, on somme sur des éléments de surface de l’axe des x, mais on somme de 0 à x, donc pour ne pas laisser d’ambiguïté on préfère renommer la variable dans l’intégrale.

Dans la suite il faudra bien différencier une intégrale entre deux bornes fixes comme dans l’exemple précédent (dans ce cas la valeur de l’intégrale est un nombre) et une intégrale dont la borne supérieure dépend de x : il s’agit alors d’une fonction, on parle d’une primitive de la fonction f.

Traçons donc l’aire (ou l’intégrale) de f en fonction de x ensemble. Tout d’abord la fonction est nulle, donc on a beau sommer il ne se passe rien, la fonction F reste nulle. Ensuite lorsque x est suffisamment grand, la fonction f augmente brusquement, et l’aire sous la courbe aussi, donc au niveau du premier pic la fonction F augmente. Lorsque la fonction f diminue, la somme ne diminue pas, bien sûr, elle continue d’augmenter puisque l’aire augmente encore un peu. Puis période où la fonction initiale est nulle, si bien que la fonction intégrale est constante puisqu’elle ne rajoute rien à l’aire qu’elle occupait déjà. Puis il se passe la même chose pour le deuxième pic que pour le premier : une montée brutale de l’aire, puis une montée plus légère lorsque le pic redescend. On a donc déterminé le graphique de notre fonction f. On a tracé la valeur de l’intégrale en fonction de x, on a obtenu une deuxième fonction à partir de la première : c’est une primitive de la fonction f.

Capture8

Plusieurs choses importantes à remarquer ici. Premièrement, quelques propriétés des primitives :

– La primitive d’une fonction nulle est une fonction nulle.
– La primitive d’une fonction constante est une fonction affine, une droite qui croît linéairement en fonction du temps (c’est logique car à chaque fois qu’on avance on ajoute la même quantité).
– La primitive d’une fonction qui croît est une fonction qui croît encore plus.

Il y a donc des opérations mathématiques qui permettent de passer d’une fonction à son intégrale, ou sa primitive plutôt, lorsqu’elle existe.

D’ailleurs, si on regarde bien, on s’aperçoit que si on dérive la fonction F par rapport à x, on retrouve la fonction f ! Pour vous en convaincre je vous laisse soit essayer de tracer (mentalement ou non) la pente de F et retrouver la fonction initiale, soit aller directement voir mon billet sur la dérivation : j’ai repris les mêmes fonctions !

On a donc mis en évidence une relation très importante : la dérivée d’une primitive redonne la fonction de départ. Ou, en terme mathématiques, si

F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(u) \,\mathrm{d}u

alors la dérivée de F est F'(x)=f(x).

Si vous voulez, lorsqu’on dérive, on « diminue d’un cran » la fonction, et lorsqu’on primitive on remonte d’un cran. Attention, il n’y a pas d’équivalence entre les opérations : si je prends les fonctions x et x+a alors leur dérivée vaut 1, donc si j’intègre leur dérivée je retrouve la même fonction ! Une fonction peut avoir plusieurs primitives, c’est pourquoi on dit souvent qu’une primitive est définie à une constante près.  Pour déterminer exactement la constante, il faut bien souvent avoir des conditions particulières (typiquement des conditions initiales) et ainsi retrouver la constante en résolvant une équation. C’est souvent là que les conditions physiques interviennent.

Exemple : f(x)=3*x. Une primitive de f est F(x)=\frac{3}{2}*x^{2}+cc est une constante. En effet la dérivée de F est bien égale à f. Si f représente la vitesse d’une particule et F représente une position, et si on sait qu’à l’origine la particule est partie de la position x=0 alors la fonction F doit vérifier F(x=0)=0 (c’est la condition physique). La seule solution est d’avoir c=0, et donc on a pu déterminer exactement la position de notre particule grâce à une condition physique.

Une dernière remarque, mais pas la moindre, en lien avec le dernier billet sur l’homogénéité : on a vu que l’intégrale d’une fonction f est F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(u) \,\mathrm{d}u. D’un point de vue homogénéité, le fait de multiplier par du revient à faire en sorte que F soit homogène à f*(\mathrm{du}). Par exemple si v est une vitesse et t (donc du) est un temps, alors \displaystyle\int_{0}^{t}v(u) \,\mathrm{d}u est une vitesse fois un temps, c’est donc une position. La variable muette est toujours homogène à ce qui se trouve dans les bornes.

On peut donc affirmer ceci, entre autres choses : la position est l’intégrale d’une vitesse. En fait on peut le comprendre en disant que pour avoir la position à un instant donné, il faut faire la somme de tous les petits déplacements qu’il y a eu jusqu’alors. Or ces déplacements infinitésimaux dépendent de la vitesse, et peuvent s’exprimer v(x)*dt. En intégrant cette expression, on retrouve bien le lien intégral entre la vitesse et la position ! Et on peut appliquer le même raisonnement pour tout un tas de grandeurs physiques.

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J’espère ne pas vous avoir perdus !

Pour aller plus loin – utilisation en physique

C’est la fin de ce billet sur l’intégration, un sujet un peu plus difficile que les autres car assez mathématique mais très utilisé en physique. Il y a quelques subtilités que j’ai passées sous silence pour plus de simplicité. Par exemple, le fait de prendre des rectangles verticaux n’est pas anodin et correspond à la construction de l’intégrale de Riemann, mais on peut appliquer le même raisonnement avec des rectangles horizontaux. Armés de ces nouveaux rectangles et de quelques outils théoriques supplémentaires (théorie de la mesure) on peut construire l’intégrale de Lebesgue, une autre définition de l’intégrale, un peu plus générale.

Par ailleurs il existe beaucoup de fonctions qu’on ne sait pas intégrer ou dont on ne connaît pas l’expression analytique de la primitive. Il existe aussi des intégrales qui ne sont pas intégrables, c’est-à-dire que la somme tend vers l’infini. L’occasion de beaucoup de discussions mathématiques. En physique on dit souvent qu’on ne travaille qu’avec des fonctions « civilisées », c’est-à-dire que l’intégrale converge bien, on n’a pas à se poser trop de questions mathématiques, principalement parce que bien souvent nos intégrales représentent des grandeurs physiques qui ne tendent pas vers l’infini.

N’hésitez pas à poser vos questions en commentaire !

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