Principe de moindre action, invariances et conservation – WUS#18

Cette semaine, un billet qui concerne un aspect fondamental de la physique, qui est au cœur de toutes les théories actuelles : le lien entre symétries d’un système et conservation d’un certain nombre de quantités caractéristiques de ce système. Vous avez déjà peut-être entendu des phrases de physicien comme « l’énergie se conserve » : aujourd’hui, on va voir d’où vient ce principe, sur quoi il s’appuie, et en quoi il nous permet de décrire un certain nombre de phénomènes.

Mais tout d’abord, saviez-vous que l’évolution d’un système, quel qu’il soit, s’effectue de manière à minimiser une certaine grandeur mathématique appelée l’action ? Il s’agit là du principe de moindre action, qui permet tout aussi bien de retrouver les lois de la dynamique de Newton que de connaître la propagation d’un rayon lumineux dans un milieu ou même de décrire le comportement d’un système quantique. Toute la physique actuelle peut se déduire de ce principe, valable dans des domaines aussi divers que la relativité générale, la théorie quantique des champs, la mécanique classique, l’optique et l’électromagnétisme. Rien que ça !

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Le LHC au CERN : un formidable outil pour étudier des collisions de particules à très haute énergie !

Le principe de Fermat

Remontons un peu en un temps où les physiciens étaient aussi mathématiciens et philosophes. C’est Galilée qui a définitivement ouvert un tournant dans la physique moderne en considérant que les phénomènes naturels pouvaient être décrits via les mathématiques, mais c’est une idée qui existait déjà chez Pythagore et même Thalès. Pour Leibniz, dont on a déjà parlé, Dieu est un mathématicien, il a tout créé suivant un principe d’économie pour que tout soit au mieux.

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Pierre de Fermat

En 1661, le mathématicien toulousain Pierre de Fermat énonce un principe de moindre temps, décrivant les lois de l’optique :

« Il n’y a rien de si probable ni de si apparent que cette supposition, que la nature agit toujours par les moyens les plus aisés, c’est-à-dire ou par les lignes les plus courtes, lorsqu’elles n’emportent pas plus de temps, ou en tout cas par le temps le plus court, afin d’accourcir son travail et de venir plus tôt à bout de son opération ».

Un principe qui parait aujourd’hui bien évident, mais à l’époque Descartes croyait que les rayons lumineux décrivaient des trajectoires paraboliques analogues à celles des balles du jeu de paume ! Ce premier principe d’économie, traduit mathématiquement, permet de retrouver un certain nombre de résultats, notamment la propagation des rayons lumineux, la loi de la réfraction décrivant la propagation rectiligne des rayons lumineux, les lois de la réflexion et de la réfraction lorsque la lumière change de milieu, et le principe du retour inverse de la lumière !

Un exemple : 

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Prenons par exemple un faisceau lumineux issu d’un point A, qui arrive après réflexion sur une surface en un point B. Quelle est la trajectoire qu’a suivie la lumière ? D’après le principe de Fermat, il s’agit du trajet le plus court en temps, qui correspond au trajet le plus court en espace puisque la lumière ne change pas de milieu. Comment lier le point A, la surface et le point B en minimisant la distance parcourue ? On voit bien qu’il faut utiliser des droites, ce qui exclut les trajectoires paraboliques (la trajectoire bleue sur le schéma). On voit ainsi émerger naturellement le concept de rayon lumineux. Un calcul simple (comparant la longueur de la trajectoire verte et celle de la trajectoire rouge avec le théorème de Pythagore) montre que la distance minimale est obtenue lorsque le rayon lumineux est réfléchi en un point de la surface équidistant des points A et B (trajectoire rouge). Il s’agit donc la trajectoire réelle lors de la réflexion d’un rayon lumineux. On retrouve ainsi la loi de Descartes, qui affirme qu’un rayon lumineux est réfléchi avec le même angle que le rayon incident !

Le principe de moindre action

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Maupertuis

Pierre-Louis Moreau de Maupertuis – ou Maupertuis tout court, par ailleurs mousquetaire et fils de corsaire français – poursuit les travaux de Fermat et énonce un « principe de la moindre quantité d’action » pour la mécanique en 1744. L’idée qu’il a en tête, c’est qu’il y a équivalence entre la loi de Newton qui permet de décrire le mouvement et la minimisation d’une certaine quantité mathématique, qu’il appelle « l’action ».

« Lorsqu’il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d’Action employée  pour ce changement est toujours la plus petite qu’il soit possible ».

L’action d’un objet étant, pour Maupertuis, le produit de sa masse par sa vitesse par la distance qu’il parcourt, ou plus précisément l’intégrale de la quantité de mouvement de l’objet le long de la trajectoire, lorsque la vitesse varie le long du chemin, comme on l’a vu dans le billet sur l’intégrale.

Imaginez un peu le retentissement de ces idées, aux conséquences philosophiques et théologiques considérables : on peut déduire les lois de la nature en minimisant une grandeur mathématique ! Et ce qui est cool, c’est que ça marche. Diablement bien.

La formulation actuelle

Revenons juste rapidement sur une notion fondamentale en physique : l’énergie. Un concept fort difficile à définir par ailleurs. Disons que l’énergie est une propriété des objets qui exprime sa capacité à « faire quelque chose » : bouger, émettre de la lumière, chauffer, créer un courant électrique, interagir avec d’autres objets. Comme beaucoup de concepts en physique (la force par exemple), c’est une propriété qu’on attribue aux objets pour décrire leur comportement, mais ce n’est pas une grandeur qu’on observe naturellement (à la différence du mouvement par exemple). Est-ce que l’énergie existe vraiment en tant que chose en soi ou est-ce une invention humaine pour comprendre comment les choses fonctionnent ?

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L’énergie, un concept pas si facile à définir.

Rappelons que l’énergie cinétique est l’énergie liée à la vitesse d’un objet, tandis que son énergie potentielle correspond à l’énergie d’interaction avec quelque chose d’extérieur au système (contrainte mécanique, force gravitationnelle, énergie électrostatique, etc). On reviendra plus précisément sur ces notions énergétiques dans un billet ultérieur !

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Orlando « Boom », qui a besoin d’énergie pour réfléchir, comme chacun de nous ! Parce que qu’est-ce que c’est, réfléchir ? De la propagation d’informations électriques dans nos neurones !

 

Le principe de moindre action a été reformulé par Joseph-Louis Lagrange, en 1756 :

« Parmi tous les chemins possibles entre deux points donnés de l’espace, la trajectoire physique (réelle) d’un objet est le chemin qui minimise une certaine quantité définie sur toute la trajectoire, appelée action. »

L’action, c’est l’intégrale par rapport au temps du Lagrangien du système, le Lagrangien étant lui-même l’énergie cinétique moins l’énergie potentielle du système. En bref, si on écrit correctement l’énergie d’un système (et en pratique ce n’est pas toujours facile ! il y a des gens dont c’est le métier) alors on peut déterminer la trajectoire d’un objet physique. On peut le voir comme le fait que la dynamique du système favorise la trajectoire qui transforme instantanément l’énergie cinétique en énergie potentielle, ou inversement. Grâce à Lagrange et au formalisme qu’il a apporté, une nouvelle discipline est née : la mécanique analytique. Développée un peu plus tard par William Rowan Hamilton, un mathématicien irlandais, cette discipline – très mathématique – consiste comme on vient de le voir à démontrer des résultats très généraux non seulement en mécanique, mais aussi dans un cadre beaucoup plus général.

La thèse de Feynman, soutenue en 1942, a justement consisté à appliquer le principe de moindre action à la physique quantique, alors émergente, en décrivant un système à partir d’un lagrangien pour retrouver son comportement. De nos jours, le principe de moindre action est valable dans absolument tous les domaines de la physique.

Bon alors pour résumer ce qu’on a vu jusque-là : on peut déduire la dynamique d’un système physique en déterminant les conditions dans lesquelles l’action de ce système est minimale. En pratique : on calcule l’action du système, en prenant comme données les coordonnées de départ et d’arrivée du système ainsi que la durée de la transformation, et en faisant varier les différentes trajectoires possibles on déduit celle pour laquelle l’action est minimale, et c’est la trajectoire physique !

Le théorème de Noether

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Emmy Noether

En 1918, la mathématicienne allemande Emmy Noether démontre un des théorèmes les plus puissants de la physique. Qualifié par Einstein de « monument de la pensée » (rien que ça), ce théorème stipule que :

« A toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l’intégrale d’action correspond une grandeur qui se conserve. »

En clair, si l’action (ou le Lagrangien) d’un système est invariant par un certain paramètre – et comme le Lagrangien revient à décrire le système cela équivaut à dire que le système lui-même est invariant, alors on peut en déduire une grandeur physique qui est conservée au cours de la transformation. Cela signifie que si un système est indépendant d’un paramètre, il y a conservation d’une quantité (qu’on peut calculer). Ce théorème a des conséquences hallucinantes.

Pour comprendre les implications de ce théorème, posons-nous la question suivante : deux phénomènes physiques identiques se produisant à deux instants différents produisent-ils le même résultat ? On a tendance à affirmer que oui, évidemment, si ces deux phénomènes ont exactement les mêmes causes, et s’effectuent dans les mêmes conditions. Ce qu’on oublie parfois, c’est que cela revient à présupposer que les lois physiques ne changent pas au cours du temps. Y avez-vous déjà pensé ? Que se passerait-il si les lois physiques changeaient au cours du temps ? Ce serait bien difficile de faire de la physique, n’est-ce pas ? En même temps, qu’est-ce qui empêche la nature de modifier les lois qui régissent l’univers ?

Et bien grâce au théorème de Noether, on peut montrer que postuler l’invariance des lois physiques par rapport au temps, cela implique la conservation d’une certaine grandeur, et cette grandeur, c’est l’énergie ! Et oui ! Voilà pourquoi les physiciens tiennent au concept de conservation de l’énergie, c’est parce que cela revient à affirmer que les lois physiques ne changent pas dans le temps !

Rendez-vous compte de la puissance de ce théorème, injustement méconnu du grand public !

Autre exemple : si un système est invariant par translation dans l’espace, sa quantité de mouvement est conservée ! C’est le cas de tout objet en propagation rectiligne uniforme par exemple, et on retrouve ainsi la première loi de Newton. Si un système est invariant par rotation suivant une certaine variable angulaire, alors son moment cinétique est conservé (son moment cinétique correspond en quelque sorte de sa propension à tourner) !

Concrètement, on va donc essayer de connaître les symétries du système (d’espace, de charges) pour pouvoir en déduire des quantités conservées, qui donnent des informations sur le comportement du système !

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Rien de tel qu’une belle image de l’espace pour réfléchir aux lois physiques !

C’est tout pour ce billet ! J’espère qu’il vous aura plu et qu’il vous aura convaincu que la physique a parfois un certain nombre de considérations métaphysiques pas piquées des hannetons ! Je trouve ça plutôt cool. N’hésitez pas à poser des questions et à me donner votre avis dans les commentaires !

 

Pour aller plus loin

Je suis tombé récemment sur un texte qui parle de l’attrait des physiciens pour les théories présentant le plus grand nombre de symétries possibles. Certains physiciens sont convaincus qu’il s’agit de la clef pour unifier la théorie quantique et la relativité générale, bâtissant la théorie de la supersymétrie. La construction d’une théorie faisant la part belle aux symétries pose ainsi certains problèmes éthiques au sein de la communauté scientifique : faut-il bâtir une théorie sur des critères esthétiques ?

Enfin, si la question du principe de moindre action vous intéresse, je vous recommande vivement Les principes variationnels en physique, de Jean-Louis Basdevant, chez Vuibert (niveau L3/Master – mais le premier chapitre très historique est totalement vulgarisé et très intéressant, je vous encourage à aller en librairie rien que pour le lire !), qui s’ouvre sur une citation de Jean Cocteau qui vient conclure ce billet : « Puisque les mystères nous dépassent, feignons d’en être les organisateurs. »

 

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