Le phénomène de résonance en physique – WUS#26

Aujourd’hui, on va parler du phénomène de résonance, omniprésent dans de nombreux domaines de la physique et aux nombreuses applications impressionnantes. Le pont de Tacoma qui ondule puis s’effondre, les verres qui éclatent quand le Castafiore chante, les filtres qui sélectionnent une fréquence donnée en électronique, derrière tout ça, il y a résonance ! Mais alors qu’est-ce que c’est ?

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Introduction et observations

À l’oral des mines, Damien, comme question de cours, a eu « le phénomène de résonance en physique ». Un sujet assez difficile puisque si on voit au cours de nos années de prépa différentes occurrences du terme « résonance » dans différents domaines de la physique, on n’a pas vraiment de cours sur ce sujet en particulier. Pas évident alors d’avoir le recul suffisant pour relier les similitudes entre elles et déterminer ce qu’est, en soi, le phénomène de résonance. C’est ce que je vais essayer de faire aujourd’hui avec vous !

(À vrai dire je suis colleur en prépa et la question de cours sur la résonance est l’exemple que je prends pour faire un peu peur aux élèves et leur faire comprendre qu’il faut se préparer à l’exercice ! 🙂 )

Quand y a-t-il résonance ? Qu’est-ce qui lie les différentes résonances de la physique ? Passons donc un peu en revue les différents cas.

La résonance acoustique

Dans la vie de tous les jours, quand on dit qu’un son « résonne », c’est non seulement qu’on l’entend bien, mais aussi qu’on a l’impression que le son nous revient (enfin c’est l’impression que ça me fait). Et ça se produit souvent dans les grandes pièces vides par exemple, comme si le son était effectivement renvoyé par les parois.

Prenons l’exemple des instruments comme le violon, la guitare et la contrebasse. Une « caisse de résonance » désigne un espace à l’intérieur duquel le son circule librement, et qui permet d’amplifier l’intensité sonore de l’instrument. Notons d’ailleurs une chose importante pour la suite : on remarque que la caisse de résonance des instruments graves (comme la contrebasse) est plus grande que celle des instruments aigus (comme le violon). On observe ainsi une relation entre la fréquence du son (qui correspond à la hauteur des instruments) et la dimension de la caisse de résonance.

Résumons donc à ce stade : le phénomène de résonance sonore est associé à une intensité importante. Une condition qui semble favoriser la résonance, c’est la présence d’un milieu dont les caractéristiques spatiales sont liées à la fréquence du son.

Le phénomène de résonance en physique

Plus généralement, il existe d’autres situations où l’on parle de résonance, peut-être un peu moins banales. Toujours dans le domaine sonore, prenons l’exemple de la Castafiore, qui chante faux et fort, et qui parvient à faire briser le verre aux alentours. En fait, en chantant faux, elle a atteint une fréquence sonore critique pour le verre, on dit alors que le solide entre en résonance. En l’occurrence, les atomes composant le verre se sont aussi mis à vibrer, ce qui a provoqué la rupture du solide !

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Tintin, le capitaine Haddock et Milou devant une vitre brisée.

Un solide, ou plus généralement un système mécanique, est donc sensible à certaines fréquences. Un exemple célèbre est celui du pont de Tacoma : un pont qui s’est effondré aux Etats-Unis en 1940. On a vu le pont se tordre de plus en plus sous l’action du vent.

Une explication simple consiste à dire que l’action du vent sur le pont a engendré des tourbillons à une fréquence correspondant à la fréquence de torsion du pont. Il y a alors résonance, et les torsions deviennent si intenses que le matériau constituant le pont ne tient plus et le pont s’effondre ! En fait il existe des subtilités, évidemment, puisque le pont et le vent sont des systèmes dynamiques complexes, qu’on ne peut pas réduire à quelques caractéristiques de base. Mais dans tous les cas, c’est bien le couplage aéroélastique entre le vent et le pont qui a engendré des oscillations.

Dans tous les cas vus précédemment, il n’y a résonance que s’il y a couplage, ou dialogue entre deux… entre deux quoi d’ailleurs ? Entre le son et la cavité, entre le son et le solide, entre le vent et le solide. Comment généraliser tout cela ?

Quelques notions d’électronique : le filtrage

Faisons une petite parenthèse. On va parler un peu d’électronique ! (Je vais définir plein de trucs assez rapidement, essayez de tenir le coup et de vous accrocher un peu si c’est nouveau pour vous. J’y reviendrai plus en détails dans un prochain billet.)

Rappelons que deux grandeurs incontournables quand on parle d’électricité sont le courant (flux d’électrons circulant dans une direction donnée) et la tension (différence de potentiel électrique entre deux points, qui fait que les électrons génèrent un courant entre ces deux points pour combler le déséquilibre).

En électronique, on fait passer du courant dans ce qu’on appelle des dipôles : le courant entre par un côté et ressort par l’autre. On ne va parler ici que des dipôles passifs (qui ne nécessitent pas d’alimentation électrique extérieure). Il y a plusieurs types de dipôles passifs :

– les résistances, faites de fils électriques par exemple, qui dissipent l’énergie électrique sous forme de chaleur ;

– les condensateurs, plaques conductrices séparées par un matériau isolant, qui peuvent emmagasiner et stocker un peu d’énergie électrique ;

– les bobines, fils de cuivres enroulés suivant une forme circulaire, qui peuvent emmagasiner et stocker un peu d’énergie sous forme magnétique.

Dans chacun de ces trois composants, le courant et la tension sont liés par une relation particulière. Ces relations sont linéaires, c’est-à-dire qu’il y a entre courant et tension des rapports de proportionnalités et des dérivés. En jouant sur leur disposition dans un circuit électrique et en regardant la tension aux bornes d’un des dipôles, on peut réussir à obtenir un signal aux caractéristiques intéressantes !

Je m’explique : imaginons que le signal qu’on envoie dans le circuit soit un signal sinusoïdal. Ce n’est pas aberrant, car on sait bien générer un courant alternatif, et d’autre part c’est intéressant, puisqu’on a vu dans le billet sur le monde de Fourier qu’un signal quelconque s’exprime comme la somme de signaux sinusoïdaux. Si on connait la réponse d’un composant électrique à un signal sinusoïdal, on peut facilement en déduire sa réponse à un signal carré, ou triangulaire, justement parce que les équations régissant courant et tension sont ici linéaires !

On envoie donc dans un circuit une tension sinusoïdale d’amplitude donnée. Pour caractériser la réponse du circuit, on regarde l’amplitude de la tension aux bornes de chaque dipôle, en fonction de chaque fréquence envoyée. On dit qu’on étudie la fonction de transfert du système, puisqu’on regarde le rapport entre le signal de sortie et le signal d’entrée, et ce rapport est une fonction qui dépend de la fréquence. Et tracer la courbe de la réponse en amplitude en fonction de la fréquence, on appelle ça tracer un diagramme de Bode en amplitude.

On voit qu’en fait ce système laisse passer certaines fréquences, ou en coupe d’autres, avec plus ou moins d’efficacité : plus la fonction de transfert est haute plus le signal transmis est important. On dit qu’on a réalisé des filtres. Il existe les filtres passe-bas, qui laissent passer les basses fréquences (bah oui), et les filtres passe-haut, qui laissent passer les hautes fréquences. Mais il existe aussi, et on en voit un exemple ici, les filtres passe-bandes, qui ne laissent passer qu’une fréquence particulière. On voit aussi qu’il peut y avoir des passe-bas qui présentent un pic à une fréquence donnée, avant de redescendre. Et cette présence d’un maximum d’amplitude de signal à une fréquence donnée, c’est la signature du phénomène de résonance !

Le phénomène de résonance

En fait, les situations dans lesquelles il y a résonance sont uniquement celles pour lesquelles il y a à la fois un condensateur et une bobine dans le montage. Et ce n’est pas une remarque anecdotique. En effet, contrairement à la résistance qui dissipe de l’énergie, le condensateur et la bobine sont deux réservoirs d’énergie, capables d’accumuler un peu d’énergie pendant un certain temps (lire peut-être mon billet sur la conservation de l’énergie pour comprendre un peu l’utilité de cette grandeur). Et si l’oscillation périodique injectée dans le système s’effectue à une fréquence particulière liant ces deux réservoirs d’énergie, alors il y a résonance ! Bien sûr cette fréquence dépend des caractéristiques de la bobine (son inductance propre) et du condensateur (sa capacité). C’est ça le phénomène de résonance, un dialogue entre deux réservoirs d’énergie. Le système couplé peut alors accumuler de l’énergie et générer une réponse intense. En injectant de l’énergie dans la bobine au moment où l’énergie dans la capacité est maximale, l’énergie totale du système augmente, et l’amplitude des oscillations de sortie augmente également.

Ces considérations sont vraies dans les différents cas traités précédemment, liant différents types d’énergie. L’énergie acoustique et l’énergie de stockage liée à la cavité, l’énergie de déformation du solide, l’énergie de torsion du pont. Dans tous les cas, il y a couplage entre deux réservoirs d’énergie, à une fréquence caractéristique, provoquant des réponses de grande amplitude ou de grande intensité. Réciproquement, on n’arrivera pas à faire de la résonance si on n’a qu’une seule source d’énergie. Preuve en est avec les filtres électroniques, qui ne présentent pas de résonance s’il n’y a pas à la fois une bobine (énergie magnétique) et un condensateur (énergie électrique).

D’autres exemples

Il existe d’innombrables exemples de résonance dans tous les domaines de la physique. On peut par exemple citer la balançoire, qui se trouve être un parfait exemple d’oscillation mécanique forcée à résonance. En effet, dans une balançoire, il y a compétition entre l’énergie cinétique liée à la vitesse de la balançoire, et l’énergie potentielle de pesanteur, liée à sa hauteur. En bougeant les jambes, on injecte de l’énergie cinétique dans le système. Si on le fait alors qu’on est au plus près du sol, il ne se passe pas grand-chose. Mais si on bouge les jambes alors qu’on est au plus haut, on injecte de l’énergie au moment où l’énergie potentielle est maximale, donc on peut aller plus vite, et plus haut : il y a résonance ! On bouge les jambes à une fréquence qui correspond à celle de l’oscillation propre de la balançoire.

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Revenons sur le billet que j’avais écrit il y a plusieurs mois sur la résonance magnétique nucléaire. Pour rappel, il s’agit d’un phénomène au cours duquel on plonge des noyaux atomiques dans un champ magnétique (voir la notion de champ dans mon billet sur les vecteurs), et ces noyaux relaxent à une fréquence donnée. J’avais été un peu évasif sur le sens du mot « résonance », en évoquant que le phénomène se produisait à une fréquence privilégiée. En fait, il s’agit bien d’une résonance comme pour les autres cas évoqués ici, dans le sens où il y a dialogue entre l’énergie associée au champ magnétique et l’énergie de spin du noyau.

Plus généralement en physique quantique, les niveaux d’énergie d’un système sont quantifiés, c’est-à-dire qu’un système ne peut pas avoir n’importe quelle énergie. On peut se le représenter comme une énergie qui évolue par paliers. Pour passer d’un niveau d’énergie à un autre, il y a donc un écart en énergie à franchir, qui correspond à un écart de fréquence (c’est la relation E=h\nu). Ainsi, dès qu’on envoie sur un système un rayonnement dont la fréquence correspond à une transition énergétique, on parle de résonance !

Conclusion

Encore une fois, la page Wikipédia sur la résonance est très bien faite. Je me souviens du temps où les professeurs nous avertissaient sur la véracité des informations qu’on trouve sur Wikipédia. Je ne sais pas s’ils le font encore. Bien que tout ne soit pas fantastique, je trouve que désormais beaucoup d’articles sont d’une grande qualité et nuancés. Il s’agit, à mon sens, d’un bon point de départ pour approfondir un sujet.

La résonance est un sujet vaste. J’ai passé sous silence certaines subtilités, notamment les différents types de réponses d’un système aux différents types de sollicitations (notions de relaxation, d’amortissement, de fréquences propres), dans un souci de concision. J’espère néanmoins avoir réussi à vous avoir donné quelques éléments de réponse concernant cet omniprésent phénomène de résonance. Et bon courage pour l’oral des mines ! 😉

Merci à M. Lodier, mon prof de SI de 5/2, pour m’avoir aidé à prendre un peu de recul.

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