Un peu de simulation numérique – WUS#29

Bonjour à tous ! Après trois petites semaines de pause, Watts Up Science reprend du service :). Cette semaine, on va s’intéresser à un outil très utilisé en physique comme en ingénierie : la simulation numérique. Qu’est-ce que c’est ? A quoi ça sert ? Comment ça marche et pourquoi l’utilise-t-on ? C’est à toutes questions que l’on va essayer de répondre dans ce billet !

onera_m6_pressure_3.PNG
Simulation d’un écoulement transsonique autour d’une aile Onera M6. La pression est représentée sur cette figure (échelle en Pascal). Un écoulement transsonique correspond à un écoulement où le nombre de Mach est supérieur à 1 dans certaines régions (la vitesse de l’écoulement autour de l’aile est alors supérieure à la vitesse locale du son) et où le nombre de Mach est inférieur à 1 dans certaines autres régions (la vitesse est inférieure à la vitesse du son). Un tel écoulement présente ce qu’on appelle une onde de choc, qui engendre une forte augmentation de la pression de l’écoulement. En l’occurrence, pour cette aile, il s’agit d’une onde de choc de type \lambda, représentée sur cette figure en pointillé.

Qu’est-ce que la simulation numérique ?

Ingénieurs et scientifiques sont confrontés quotidiennement à des problèmes, qu’ils soient d’ordre mécanique, biologique, physique, etc. Comme on l’a vu dans un précédent billet (ici), on va chercher à modéliser ce problème à l’aide d’un certain nombre d’hypothèses : on obtient alors un modèle. Ce modèle se caractérise mathématiquement par un certain nombre d’équations, qui représentent le problème initial. Ces équations sont très souvent des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles. Pour faire court, une équation différentielle fait intervenir une fonction dépendant d’une unique variable et ses dérivées. Une équation aux dérivées partielles fait intervenir une fonction dépendant de plusieurs variables et les dérivées de cette fonction selon ces variables.

On va se limiter ici aux équations différentielles (c’est plus simple !). Prenons l’exemple d’une masse m reliée à une paroi par un ressort et un amortisseur. En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PFD, ou second principe de Newton) au système {masse} projeté sur l’axe vertical, on peut montrer que, en l’absence de frottement, le comportement de la masse est régi par l’équation différentielle suivante :

m \, \frac{d^{2}z}{dt^{2}} + b \, \frac{dz}{dt} + k \, z = k \, z_{0}

Que l’on peut aussi écrire sous la forme suivante :

m \, \ddot{z} + b \, \dot{z} + k \, z = k \, z_{0}

z désigne la position de la masse, b désigne le coefficient d’amortissement de l’amortisseur, k désigne la raideur du ressort et z_{0} désigne la position initiale de la masse.

masse-ressort-amortisseur
Schéma du problème mécanique considéré

Cette équation est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. Comme toute équation différentielle ou aux dérivées partielles, elle nécessite, pour être résolue dans le cas précis d’un problème, un certain nombre de conditions aux limites. Étant une équation du second ordre, elle en nécessite l’occurrence deux.

On distingue souvent deux types de conditions aux limites :

  • Conditions de Dirichlet: elles correspondent aux conditions que la solution doit vérifier sur les limites du domaine (temporel et/ou spatial) du problème. Dans le cas de l’exemple de la masse, la position initiale (à t=0) de la masse est une condition de Dirichlet.
  • Conditions de Neumann: elles correspondent aux conditions que les dérivées de la solution doivent vérifier sur les limites du domaine du problème. Dans le cas de la masse, la valeur initiale de la dérivée de z, la dérivée de la position de la masse, est une condition de Neumann.

En l’occurrence, on sait résoudre analytiquement cette équation. Mais ce n’est pas le cas de la plupart des équations aux dérivées partielles ! Et c’est là tout l’intérêt de la simulation numérique : résoudre ces équations de manière approchée.

Quelques principes de base de la simulation numérique

L’idée principale qui se cache derrière la simulation numérique est la notion de discrétisation. Pour un problème stationnaire (c’est-à-dire indépendant de la variable temps), tel que l’écoulement transsonique présenté plus haut, on cherchera à discrétiser le domaine spatial du problème, c’est-à-dire découper ce domaine en un certain de nombre de petites cellules. On obtient alors ce qu’on appelle un maillage. Le domaine spatial n’est plus considéré comme continu, mais comme un ensemble discret d’éléments.

poutre_1
Maillage d’une poutre à section carrée qui sera soumise à un choc, i.e. ici au contact avec une masse disposant d’une importante énergie cinétique

Il existe différents types de maillage (2D, 3D, structuré, hybride…) et différents types de cellules que l’on peut choisir selon le problème considéré, mais ce n’est pas l’objet de ce billet que de les détailler.

Si maintenant le problème est instationnaire, comme le cas du problème masse-ressort-amortisseur présenté plus haut, on cherche alors aussi discrétiser le temps. On ne considérera plus le temps comme continu : on s’intéressera uniquement qu’à un certain nombre d’instants, définis par exemple par  t_{n}=n \times \Delta t, où \Delta t désigne le pas de temps entre chaque instant considéré.

Une fois les domaines spatial et temporel du problème discrétisés, on va chercher à résoudre les équations du problème, à chaque instant, dans chacune des cellules. Pour ce faire, ces équations, qui sont continues, sont remplacées par des équations discrètes. L’idée est d’obtenir une approximation algébrique de ces équations (à l’aide, par exemple, de séries de Taylor), que l’on est alors en mesure de résoudre à l’aide de méthodes numériques itératives. On peut le faire pour le cas de la poutre présentée plus haut, et on obtient les résultats suivants ! On peut y voir que, en première approche, les résultats de la simulation numérique s’accommodent plutôt bien avec les résultats expérimentaux.

poutre_2
Déformation d’une poutre suite à un choc. Les contraintes de Von Mises sont représentées sur la figure de droite.

Notons que les équations sont approchées, si bien que l’on n’obtiendra jamais des résultats 100% exacts. Néanmoins, la précision des résultats peut être augmentée en améliorant l’approximation que l’on fait des équations (en incluant des termes d’ordres supérieurs), en diminuant le pas de temps entre chaque instant considéré, mais aussi en raffinant le maillage, c’est-à-dire en discrétisant le domaine spatial par des éléments de plus petite taille.

Illustrons cela par un exemple. Les deux figures suivantes représentent un écoulement supersonique autour d’un même profil d’aile prismatique. Les calculs sont réalisés avec un maillage « grossier » dans le premier cas et avec un maillage raffiné dans le second cas.

pressure

Pressure (2)

Les résultats sont bien plus satisfaisants dans le deuxième cas. Cela peut se voir au niveau de l’épaisseur des ondes de choc. Avec le second maillage, leur épaisseur est fine, ce qui n’est pas le cas avec le premier maillage, qui pourrait laisser penser que le changement de pression se fait quasiment continument, ce qui n’est pas conforme à la théorie des ondes de choc.

Notons par ailleurs que sur la deuxième figure, le maillage a été raffiné par deux fois. Une fois globalement sur l’ensemble du domaine, une seconde fois à proximité du profil d’aile. On peut le voir au niveau de l’épaisseur des ondes de choc, qui change brusquement à certains endroits : ce changement n’est pas physique, mais est dépendant de la taille du maillage.

Enfin, comme on l’a vu en première partie, les équations que l’on cherche à résoudre nécessitent la donnée de conditions limites. Ainsi, si on cherche à résoudre ces équations dans chaque sous-domaine d’un maillage, chacun de ces sous-domaines doit avoir ses propres conditions limites. Elles viennent en fait des cellules adjacentes, et ces conditions limites sont souvent des flux (conditions de Neumann).

Quand utilise-t-on la simulation numérique ?

La simulation numérique est utilisée dans des domaines très variés : physique théorique, physique appliquée, ingénierie (automobile, aérospatial, génie civil…). Son principal avantage est de permettre la prédiction le comportement de système sans avoir à créer des prototypes et des dispositifs expérimentaux qui peuvent être très coûteux (money money) ou difficiles à réaliser. Ce n’est pas pour autant qu’aucun prototype n’est réalisé ! Par exemple, des crashs tests sont toujours réalisés dans l’industrie automobile (et ils sont aussi modélisés numériquement). Dans l’industrie aéronautique, aucun avion n’est entré en phase de test sans qu’il soit passé auparavant en soufflerie ! Sans expérimentation, aucun avion ou voiture ne peut être certifié et mis sur le marché. La simulation numérique vient souvent en amont de l’aspect expérimental, puis les résultats numériques sont comparés avec les résultats expérimentaux pour valider les modèles utilisés, voire les modifier en conséquence.

La simulation numérique est en fait de plus en plus complémentaire avec l’aspect expérimental, si bien que certains considèrent même aujourd’hui que la simulation numérique est, avec la théorie et l’expérimentation, un des piliers de la science !

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