Les équations de Maxwell – WUS#30

Vous avez déjà entendu parler des équations de Maxwell ? Ces quatre équations qui régissent tout l’électromagnétisme ? Elles permettent de comprendre le comportement de la lumière, mais aussi de créer des moteurs, de décrire le courant électrique, et j’en passe ! Aujourd’hui on va voir la tête de ces équations, et essayer de comprendre avec les mains ce qu’elles signifient. Car les équations parlent !

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Mini-introduction historique

Quand nous étions en seconde, notre prof de physique nous a fait un petit historique sur la façon dont les scientifiques ont compris ce qu’est la lumière. Euclide, à  l’Antiquité parle de rayons lumineux instantanés. Plus tard, après qu’on ait découvert que la lumière se propage en un temps non nul, Descartes pose les bases de l’optique géométrique, et Newton s’intéresse aux phénomènes d’interférences. Newton défend l’idée que la lumière se propage via des grains de lumière, on parle de théorie corpusculaire de la lumière. A contrario, à la même époque, Huygens et Fresnel formulent des théories ondulatoires de la lumière. En parallèle, les travaux d’Ampère et de Faraday permettent de rendre compte des phénomènes magnétiques et électriques. Puis vient James Clerk Maxwell, qui énonce vingt équations – réduites à quatre dans la version moderne – permettant de décrire et de retrouver le comportement du champ électromagnétique, et donc a fortiori de la lumière. Un triomphe dans le monde de la physique ! Et rien qu’avec ces quatre équations, on peut comprendre la propagation de la lumière, mais aussi le principe des moteurs, le fonctionnement des éclairs, des systèmes électriques, et beaucoup d’autres choses !

Intrigué par ces quatre équations un peu magiques, je suis allé voir sur Wikipédia quelle tête elles avaient. J’ai été déçu : je n’ai pas compris grand-chose. Ce n’est qu’en maths spé que j’ai revu véritablement les fameuses équations de Maxwell !

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James Clerk Maxwell (1831-1876), père de l’électromagnétisme, un des plus grands physiciens du 19ème siècle, il a également largement contribué au développement de la théorie cinétique des gaz, et est l’auteur de la première photographie en couleur !

Précisions quantiques

J’en avais parlé dans l’introduction de mon billet sur le microscope à force atomique : on sait désormais que ce qu’on appelle « lumière » (comprendre la lumière visible) est en réalité une petite partie de l’ensemble du spectre électromagnétique. En fait, une lumière à une « couleur donnée » correspond à une onde aux caractéristiques données (notamment sa longueur d’onde, ou sa fréquence), ou à un photon (particule de lumière) aux caractéristiques données (notamment son énergie). On peut synthétiser tout ça en décrivant la lumière comme un champ électromagnétique : un champ électrique lié à un champ magnétique qui se propagent dans un certain milieu.

Pour revenir sur le bref historique précédent, et continuer un peu après Maxwell : juste avant l’avènement de l’ère quantique, Louis de Broglie propose le terme de dualité onde-corpuscule, selon laquelle la lumière est à la fois une onde et une particule. C’était effectivement la bonne direction. Pour parler plus précisément, on sait désormais décrire la lumière de manière quantique, et selon le phénomène analysé la lumière se comporte soit comme une onde, soit comme une particule. Notons par ailleurs – comme le fait souvent le physicien français Claude Aslangul – que le concept de « dualité onde-corpuscule », s’il est assez pratique pour se représenter les choses, est en fait de nos jours plutôt désuet, mais malgré tout souvent mis en avant – notamment en France et dans les programmes scolaires français (peut-être parce que la contribution de de Broglie est une des rares contributions françaises à la mise en place de la théorie quantique). On parle désormais en termes de champs plutôt qu’en termes d’ondes ou de particules. La terminologie de dualité onde-corpuscule peut d’ailleurs parfois induire en erreur, puisqu’elle a l’air de former un paradoxe, onde et particule étant a priori inconciliables. Dans le formalisme de la mécanique quantique onde et corpuscule ne sont plus vraiment des notions qui sont utilisées, il n’y a pas de paradoxe dans la théorie quantique. Il me semble important de le préciser puisque c’est souvent une confusion qui est faite. J’y reviendrai dans mon futur billet d’introduction au formalisme quantique.

Les lecteurs intéressés par l’établissement historique de la mécanique quantique peuvent se référer au cours d’introduction de Claude Aslangul, grand spécialiste du sujet.

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Les équations de Maxwell

Rentrons désormais dans le vif du sujet ! Voici les quatre équations de Maxwell :

\mathrm{div}\,\vec{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}} : équation de Maxwell-Gauss

\mathrm{div}\,\vec{B}=0 : équation de Maxwell-Thomson

\mathrm{\overrightarrow{rot}}\,\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} : équation de Maxwell-Faraday

\mathrm{\overrightarrow{rot}}\,\vec{B}=\mu_{0}\vec{j}+\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} : équation de Maxwell-Ampère

Bon alors pas de panique, on a ici des équations mathématiques qui ont l’air un peu barbares a priori, mais on va voir leur sens tout de suite. Tout d’abord, lorsqu’on voit des équations, il faut se poser la question des variables : quelles sont les grandeurs physiques considérées, et quels sont les opérateurs, c’est-à-dire les symboles mathématiques correspondant à une opération donnée ? Reprenons les équations une par une, et voyons ce qu’on peut en tirer… en gardant à l’esprit qu’une équation correspond à une condition mathématique que doivent respecter les grandeurs physiques dans le cadre du modèle adopté !

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Carl Friedrich Gauss (1777-1855), monument de la physique et des mathématiques allemandes.

L’équation de Maxwell-Gauss

\mathrm{div}\,\vec{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}}

Les variables sont ici le champ électrique \vec{E}, et la densité volumique de charge électrique \rho. Cette dernière quantité correspond à la manière dont un volume est chargé électriquement : c’est une quantité qui dépend de l’espace bien sûr, un volume n’est pas forcément chargé uniformément. \epsilon_{0} est une constante appelée perméabilité diélectrique du vide. Le symbole mathématique \mathrm{div} est ce qu’on appelle l’opérateur divergence. Il s’agit en fait d’une certaine manière de combiner les dérivées spatiales du champ magnétique.

Grâce à des théorèmes mathématiques, cette équation peut être réécrite autrement, en disant que le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal à la charge électrique comprise dans le volume délimité par la surface (à un facteur près) : c’est le théorème de Gauss. Une surface fermée est simplement une surface délimitant un intérieur et un extérieur (comme une sphère, mais pas comme une feuille de papier par exemple).  L’équation signifie alors qu’une charge électrique est une source de champ électrique (c’est logique). En revanche un objet neutre électriquement ne crée pas de champ électrique (c’est logique aussi). Au-delà de ces notions qualitatives, si on connaît la répartition des charges électriques dans un milieu, on peut en déduire l’expression du champ électrique dans l’espace, et c’est là toute la force de cette équation.

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Joseph John Thomson (1856-1940), physicien anglais découvreur de l’électron, prix Nobel de physique 1906.

L’équation de Maxwell-Thomson

\mathrm{div}\,\vec{B}=0

Il s’agit d’une condition sur le champ magnétique \vec{B}, qui est donc ici la variable, la grandeur physique sur laquelle on a une condition. On retrouve l’opérateur divergence, et comme précédemment cette équation peut se réécrire en disant que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul. On dit aussi que le champ magnétique est à flux conservatif. Cela revient à dire qu’il n’y a pas de source unique de champ magnétique, contrairement au cas électrique. C’est quelque chose de très intéressant : en physique, on ne connaît pas de monopôle magnétique, pas de « monopôle magnétique ». On ne connaît que des dipôles. Essayez de couper un aimant en deux, au niveau de la jonction entre les deux pôles. Qu’obtiendrez-vous ? Et bien non pas un pôle magnétique + et un pôle magnétique -, mais bien deux aimants !

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Michael Faraday (1791-1867), physicien britannique, qui a commencé comme apprenti chez un libraire, passionné par les livres scientifiques !

L’équation de Maxwell-Faraday

\mathrm{\overrightarrow{rot}}\,\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}

Une équation qui relie champ magnétique et champ électrique ! On note la présence d’un autre opérateur, le rotationnel, \mathrm{\overrightarrow{rot}}, qui est lui aussi un opérateur agissant comme une combinaison de dérivées spatiales. À ceci près qu’il s’agit d’un opérateur vectoriel, contrairement à la divergence qui est un opérateur scalaire. Cela signifie que \mathrm{\overrightarrow{rot}}\,\vec{E} est lui-même un vecteur. Et ce vecteur est égal à la dérivée temporelle du champ magnétique (un vecteur également donc, normal).

Qu’est-ce que cela signifie ? Et bien les implications sont monstrueuses puisqu’on retrouve avec cette seule équation tous les grands principes à la base des moteurs et de la génération d’électricité. Jusque-là dans les deux premières expressions, le temps n’intervenait pas. Mais là, on le voit apparaître sous forme d’une dérivée. Ça veut dire qu’un champ magnétique qui varie dans le temps permet l’apparition d’un champ électrique, et donc d’un courant ! Promenez un aimant dans une bobine et vous verrez le courant apparaître. Faites tourner un champ magnétique et vous pourrez créer du courant alternatif : c’est le principe des génératrices ! L’énergie mécanique est transformée en énergie électrique. C’est le principe des dynamos aussi.

Maintenant, prenons le truc à l’envers. On verra juste après qu’à partir d’un courant on peut créer un champ magnétique. Imaginons qu’on utilise un courant électrique dépendant du temps permettant de créer un champ magnétique tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre (en changeant le sens du courant tout simplement). Mettons qu’on place un aimant dans ce champ magnétique : vous savez qu’un aimant s’oriente dans la direction du champ magnétique, si bien qu’il va lui aussi changer de sens en même temps que le champ magnétique. On a réussi à créer du mouvement à partir de courant électrique dépendant du temps : c’est le principe des moteurs électriques. En adaptant un peu, on obtient les machines à courant continu très utilisées aujourd’hui. L’énergie électrique est convertie en énergie mécanique !

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Un moteur électrique : du courant dépendant du temps circulant dans les bobines fixes permet de mettre en rotation un rotor !

Tout ceci correspond aux lois fondamentales de l’induction. On peut réécrire l’équation de Maxwell-Faraday en écrivant que la variation temporelle du flux magnétique crée une tension d’induction, dite « force électromotrice » : il s’agit de la loi de Faraday.

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André-Marie Ampère (1775-1836), savant français brillant, précurseur de l’électromagnétisme et de la mathématisation de la physique.

L’équation de Maxwell-Ampère

\mathrm{\overrightarrow{rot}}\,\vec{B}=\mu_{0}\vec{j}+\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Dernière équation, un peu plus complexe que les autres. On retrouve encore une fois le champ magnétique \vec{B} et le champ électrique \vec{E}. La constante \mu_{0} est la perméabilité magnétique du vide. Enfin, le vecteur \vec{j} est le vecteur densité de courant électrique. Il correspond à la vitesse des électrons qui créent le courant. Il y a deux termes à droite : le terme statique \mu_{0}\vec{j}, et le terme qu’on appelle « courant de déplacement » \mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}. C’est sur ce dernier terme que Maxwell a été particulièrement inspiré.

Dans un premier temps, considérons uniquement le cas statique (courant de déplacement nul car en statique rien ne dépend du temps). L’équation nous donne un lien entre le courant et le champ magnétique : la distribution du courant dans un matériau crée un champ magnétique, qu’on peut calculer grâce à cette équation ! C’est ce que j’évoquais quand je parlais de l’équation précédente. On peut réécrire ce théorème en disant que la circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé est égale au courant enlacé par ce contour : c’est le théorème d’Ampère.

Pourquoi avoir introduit le courant de déplacement ? En tout cas cela permet de retrouver un certain nombre de résultats importants, notamment la conservation de la charge électrique (un principe dont on se sert constamment en chimie par exemple), et l’établissement de l’équation d’onde des champs électrique et magnétique : en combinant les équations de Maxwell on arrive à une équation de d’Alembert, qui permet justement de retrouver le fait que le champ électromagnétique dans le vide se comporte comme une onde dans le vide.

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Édimbourg, ville natale de Maxwell 🙂

Quelques remarques

Les équations de Maxwell sont un postulat : on suppose qu’elles sont vraies (elles correspondent à ce qu’on observe expérimentalement), ce qui nous permet de retrouver un tas de résultats. J’espère avoir pu vous convaincre de la richesse de ces équations, qui régissent absolument tout l’électromagnétisme. Il existe bien sûr d’autres notions utiles comme celles de potentiel électrique et de potentiel vecteur, ou bien des raffinements dans l’écriture de ces équations selon le milieu de propagation que l’on considère. Néanmoins, sous cette forme, on peut déduire un grand nombre de propriétés sur le comportement des champs électrique, magnétique, notamment à partir d’informations sur la charge électrique et sur le courant dans le système.

Il faut savoir aussi que ces équations ont une solution ! Des mathématiciens se sont penchés sur le problème, et à l’aide d’outils mathématiques sympas, on obtient la solution dite des potentiels retardés, qui permet non seulement de retrouver l’expression générale des champs, mais aussi des résultats empiriques connus depuis très longtemps comme l’expression de la force électrostatique.

Notons par ailleurs la dissymétrie de ces équations : il n’existe pas de terme de sources magnétiques. C’est assez étonnant, puisque par ailleurs le champ électrique et le champ magnétique ont des comportements assez similaires. La construction de grandeurs analogues à la densité de charge et au courant électrique pour le champ magnétique (qui permettrait une plus grande symétrie des équations : un terme supplémentaire dans l’équation de Maxwell-Thomson et un terme supplémentaire dans l’équation de Maxwell-Faraday) et la recherche de monopôles magnétiques sont des sujets de recherche importants : si la théorie classique de l’électromagnétisme et même la théorie de la relativité ne prévoient pas l’existence de monopôles magnétiques, en revanche cette existence n’est pas exclue en mécanique quantique. On sait prouver que si un monopôle magnétique existe, alors la charge électrique est quantifiée. Or c’est le cas, puisque toute charge électrique est multiple d’une charge élémentaire ! On ne peut pas conclure, mais la recherche est en cours ! On a réussi à créer des quasi-particules artificielles se comportant comme des monopôles magnétiques dans ce qu’on appelle les glaces de spin !

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Je vous encourage à aller au Palais de la Découverte, et à participer à leur fameux atelier sur l’électrostatique !

Conclusion

J’espère que ce billet vous aura plu, il est assez différent de ce qu’on a l’habitude de faire (car un peu plus formel). L’objectif n’était pas de vous faire peur avec des équations compliquées ou de vous montrer « vous voyez c’est simple ». Non, quand on voit les équations de Maxwell, pour en déduire le sens, ça ne s’invente pas. En revanche, en développant uniquement quelques notions physiques et quelques outils mathématiques, alors on peut en déduire un grand nombre de résultats importants en physique, et c’est ce que j’ai trouvé particulièrement intéressant. N’hésitez pas à me faire part de votre ressenti.

Références, pour aller plus loin

Une vidéo d’illustration sur la dualité onde-particule sur le très bon site toutestquantique.fr :
https://toutestquantique.fr/dualite/

Une très bonne vidéo d’explication (en anglais) sur les équations de Maxwell (avec plein d’animations sympas), par CrashCourse :
https://www.youtube.com/watch?v=K40lNL3KsJ4

Claude Aslangul sur la mécanique quantique :
https://www.youtube.com/watch?v=Zn_vbpyT15M
https://indico.in2p3.fr/event/6147/material/slides/18.pdf

Sur le monopôle magnétique :
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00365908v3/document
http://aflb.ensmp.fr/MEMOS/GLmonopole/CONF_monopole.pdf

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