D’où vient la taille des feuilles de papier ? – FF#01

Ne vous êtes-vous jamais demandé pourquoi une feuille A4 mesure 21 x 29,7 cm ? Mais pourquoi donc 29,7 cm et pas 30 cm, ce qui serait somme toute plus pratique, non ? C’est ce qu’on va voir aujourd’hui. Ce billet inaugure un nouveau type de billet, les fun facts, où on essayera de répondre à des questions scientifiques ou plus générales que l’on peut se poser ‘dans la vie de tous les jours’. D’ailleurs, si vous avez des idées de questions, n’hésitez pas à les poster en commentaire ! 🙂 Allez, c’est parti pour ce fun fact FF#01 !

A4

On se limite dans ce billet au papier de format A (A0, A1, A2…).

Trois choses sont à savoir sur ce type de papier :

  1. L’aire d’une feuille A0 est de 1 \, m^{2}.
  2. On passe d’une feuille A_{n} à une feuille A_{n+1} (par exemple, de A3 à A4) en coupant en deux parts égales la feuille A_{n} dans le sens de sa longueur.
  3. Toutes les feuilles de papier de format A ont le même ratio longueur sur largeur. Ce rapport vaut L/l =\sqrt{2}.

Les plus matheux feront le rapport entre \sqrt{2} et la taille de la diagonale d’un carré de côté 1. Mais que vient donc faire la diagonale d’un carré dans la taille des feuilles de papier qui ne sont pas des carrés ? Eh bien, pas grand-chose a priori. Regardons d’où vient cette valeur !

An-An1

Considérons une feuille de papier A_{n} de longueur L_{n} et de largeur l_{n}. Avec la propriété 2, on voit que cette feuille A_{n} est composée de deux feuilles A_{n+1} identiques, de longueur L_{n+1} et de largeur l_{n+1}. Par ailleurs, comme on coupé la feuille A_{n} dans la longueur, on a :

L_{n+1}=l_{n} et l_{n+1}=\frac{L_{n}}{2}.

Si maintenant, on souhaite que le rapport longueur sur largeur soit le même pour les deux feuilles, cela donne :

\frac{L_{n}}{l_{n}} = \frac{L_{n+1}}{l_{n+1}} = \frac{l_{n}}{L_{n}/2}

soit \left( \frac{L_{n}}{l_{n}} \right) ^{2} = 2 et donc \frac{L_{n}}{l_{n}} = \sqrt{2}

Rien de bien compliqué certes, mais ce n’est pour autant pas anodin ! Le fait que toutes les feuilles A_{n} ont le même rapport longueur sur largeur signifie qu’elles ont toutes la même forme, et on a démontré que le seul ratio longueur sur largeur permettant une telle propriété est \sqrt{2}.

Sans les propriétés 1 et 2, il y a un certain nombre de choses qu’on ne pourrait pas faire. On ne pourrait par exemple pas compresser une feuille A3 en une feuille A4 sans déformation. On ne pourrait de même pas réduire deux feuilles A4 pour les imprimer sur une feuille A4.

Mais ça ne nous dit toujours pas comment on obtient la taille d’une feuille A4 ! Il reste une propriété qu’on n’a pas utilisée : une feuille A0 a une aire de 1 \, m^{2}. Connaissant le ratio longueur sur largeur, on peut montrer qu’une feuille A0 est de taille 84,1 x 118,9 cm. Ainsi, de proche en proche, on peut obtenir la taille de toutes les feuilles.

tab

On notera que si les dimensions des feuilles ne sont la plupart du temps pas des valeurs rondes (inévitable du fait du ratio longueur sur largeur), les aires des feuilles sont, jusqu’au format A4, des valeurs rondes. Et c’est notamment pour cette raison que l’aire du format A0 a été choisie à 1 \, m^{2}.

Et maintenant vous savez tout sur les feuilles de format A. Il existe bien évidemment d’autres formats, notamment le format B (qui, comme le format A, est régi par la norme ISO 216). Les feuilles de format B ont elles aussi un ratio longueur sur largeur de \sqrt{2}, mais le format B0 est de taille 100,0 x 141,4 cm (\sqrt{2} \simeq 1,414).

Voilà, c’est tout pour ce billet ! N’hésitez pas à poster des questions que vous verriez bien apparaître dans un billet fun fact ! 🙂

Sources

http://www.utc.fr/~tthomass/Themes/Unites/unites/cat/aut/Les%20unites%20d%27imprimerie.pdf
http://www.cl.cam.ac.uk/~mgk25/iso-paper.html

3 commentaires sur “D’où vient la taille des feuilles de papier ? – FF#01”

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  1. Une autre propriété, indirecte, c’est que pour le papier de 80 g/m², chaque papier A4 pèse exactement 5 grammes.

    Donc dans un courrier postal, on peut 3 feuilles pour rester sous les 20 grammes autorisés pour le pli le moins cher dans une petite enveloppe (le poids de la petite enveloppe ne dépasse pas celui d’une feuille).

    Si on utilise une grande enveloppe, on ne pourra en mettre qu’une seule (les deux faces de l’enveloppe constituant déjà un poids conséquent).

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