La forme des clepsydres et la méthode scientifique – WUS#34

Aujourd’hui, on va parler de la clepsydre. Vous savez, ce récipient utilisé pour mesurer des durées à partir de l’écoulement d’un liquide ! On va essayer de déterminer ensemble la forme optimale du récipient pour que le liquide s’écoule de la façon la plus régulière possible. Un problème pas si simple ! Et à travers cet exemple, on va voir la démarche des physiciens lorsqu’ils essaient de résoudre un problème. Comme une introduction illustrée à la méthode scientifique ! Un billet un peu long, avec des équations, mais tout est expliqué ! N’hésitez pas à poser des questions ou donner votre avis en commentaire.

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La fameuse clepsydre de Fort Boyard.

La mesure du temps via les clepsydres 

À une époque où on n’avait pas encore inventé les horloges mécaniques ou les oscillateurs, il fallait recourir à d’autres méthodes pour mesurer le temps. On reparlera du sablier un petit plus tard, mais j’aimerais revenir sur la clepsydre. Il s’agit d’une sorte de bol ou de vase au fond duquel un trou permet à l’eau de s’écouler.

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Clepsydre athénienne reconstituée, Musée de l’agora antique d’Athènes.

Le problème qui va nous intéresser, c’est de s’assurer que l’eau s’écoule de façon constante. Dès l’Egypte Antique on se servait des clepsydres pour mesurer des durées : en marquant d’une encoche le niveau d’eau à remplir, on savait qu’une clepsydre donnée mettrait toujours le même temps à s’écouler. Mais pour être plus précis, on peut penser à graduer le niveau d’eau pour que chaque graduation corresponde à une durée fixe. Sauf que voilà, le problème, c’est que la vitesse d’écoulement varie au cours du temps, selon la forme du récipient ! Et si la vitesse n’est pas constante, alors ce n’est pas parce que deux graduations sont séparées de la même distance qu’autant de temps s’est écoulé, au contraire ! Et ce, même dans le cas où le récipient est un cylindre percé.

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Vous pouvez faire la manip’ chez vous : prenez un entonnoir (grand avec un petit trou de préférence – vous pouvez même le construire vous-mêmes avec du carton et du scotch si vous n’avez pas ce qu’il faut), bouchez le trou, rajoutez de l’eau, puis observez. Vous verrez normalement que plus il y a d’eau dans l’entonnoir, moins l’eau s’écoule vite, mais quand la hauteur d’eau diminue alors l’écoulement prend de moins en moins de temps.

(C’est pour ça que dans Fort Boyard, au début le liquide s’écoule lentement et on a l’impression d’avoir plein de temps, mais plus le temps passe et plus la hauteur de liquide diminue vite, ce qui peut être assez piégeur !)

Du coup, le but de ce billet sera de déterminer la forme optimale de la clepsydre pour que la hauteur d’eau s’écoule de façon linéaire, c’est-à-dire que si on mettait une règle verticale dans l’entonnoir, il faut qu’entre chaque graduation il se soit écoulé un temps égal. Et c’est un peu plus compliqué qu’il n’y parait ! (Bon vous allez dire qu’il n’est pas forcément évident de mettre une réglette graduée dans un réservoir sans modifier l’écoulement, c’est vrai, mais on peut mettre la réglette dans le récipient qui reçoit le fluide, ou utiliser un bécher gradué, et cela revient au même).

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Le bécher, ami des chimistes et parfois aussi des physiciens.

Écoulement d’un réservoir

Ce qui va nous aider à déterminer ce profil, c’est une modélisation mathématique du problème ainsi que l’utilisation de quelques lois physiques. Comme toujours ! Grosso modo, je vais procéder comme pour une résolution commentée d’un exercice de physique (car c’en est un !) pour vous montrer un raisonnement très classique : modélisation d’un problème, formulation d’hypothèses, utilisation de lois physiques dans le cadre de ces hypothèses, mise en équation, résolution, puis discussion. Je traite l’exemple de la clepsydre, mais au fond il s’agit de la méthode standard réutilisable partout !

  1. Modélisation du récipient

Pour simplifier, on va dire que notre clepsydre a une symétrie de révolution autour d’un axe vertical. On notera donc O le point de hauteur nulle, z la hauteur de l’eau à un instant donné t, et on dira que lorsqu’il est rempli, la hauteur d’eau du réservoir est h. On notera r le rayon du trou à l’extrémité du réservoir. Pour déterminer la forme du réservoir, on notera f(z) (prononcer « f de z ») la fonction associée au profil du récipient : si f est constante, le récipient est un cylindre. Si f est une fonction linéaire, le récipient est un entonnoir. Toute l’idée, c’est de trouver une contrainte mathématique sur cette fonction (exprimée à partir de lois physiques) qui nous permette de la déterminer de manière à ce que la hauteur d’eau diminue de façon constante.

On va aussi supposer que la taille de l’orifice r est toujours petite comparée au profil f(z), pour des raisons qu’on verra un peu plus tard. Ce n’est pas le cas de l’entonnoir ! En revanche c’est plus ou moins le cas pour les deux autres exemples ci-dessus. On se rajoute une contrainte, mais on verra que ce sera utile.

  1. Modélisation du fluide

Le fluide, c’est de l’eau. Pour simplifier les choses, on va dire que le fluide est non visqueux (c’est-à-dire qu’il ne s’accroche en aucune manière aux parois du réservoir et s’écoule parfaitement). C’est une hypothèse raisonnable mais pas exactement vérifiée en pratique (on a toujours quelques gouttes qui s’accrochent !). On appelle cela l’approximation du fluide parfait (dont Damien a déjà parlé dans son billet sur le théorème de D’Alembert, que je vous invite à découvrir).

  1. Modélisation de l’écoulement

Dernières hypothèses. On va supposer l’écoulement incompressible. Ce qui revient à supposer le fluide lui-même incompressible dans les conditions considérées. En gros, ça veut dire que la masse volumique du fluide ne change pas. C’est encore une fois raisonnable si on prend le cas de l’eau dans des conditions normales de température et de pression.

Enfin, et c’est peut-être là qu’on va faire l’approximation la plus grossière, on va supposer l’écoulement quasi-statique. C’est-à-dire qu’entre deux instants l’écoulement s’effectue de façon très lente devant la durée totale de vidange du réservoir. On peut assez facilement le concevoir pour un gros réservoir, mais pour une petite clepsydre, c’est plus délicat. On reviendra sur les limites de validité de cette approximation dans la suite, mais considérons pour l’instant que le niveau d’eau baisse suffisamment lentement pour pouvoir considérer l’écoulement quasi-statique.

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Un écoulement du quotidien

Mise en équations

Mais alors pourquoi faire toutes les hypothèses précédentes ? Pour se simplifier la vie d’une part, vous imaginez bien que si le récipient n’était pas symétrique tout serait bien plus compliqué. Mais aussi parce qu’on a envie d’utiliser des lois physiques, qui ne sont valables que sous certaines hypothèses. Vous allez dire « oui, mais si en réalité les approximations réalisées sont trop grossières, alors les hypothèses ne sont pas vérifiées, et alors on ne peut plus utiliser la loi, et les résultats seront faux ». Oui… et non.

En fait, même si les hypothèses sont fausses, si elles restent proches de la réalité, alors le résultat donne parfois des résultats significatifs, même s’ils sont un peu inexacts. L’idéal est alors de comparer résultats du modèle avec résultats d’une expérience ! Et si les hypothèses simplificatrices sont trop grossières, alors on fait des modèles plus complexes (avec donc des équations mathématiques plus complexes qu’on ne sait pas forcément résoudre), et/ou on construit une simulation numérique qui essaie de prendre en compte de manière plus fidèle les contraintes réelles. Mais les simulations ne sont pas non plus dénuées de simplifications (notamment les maillages spatiaux et temporels peuvent grandement faire varier un résultat ! – un maillage est une manière de découper et paramétrer l’espace dans une simulation, cf ce billet de Damien). Il faut souvent trouver un compromis entre maillage suffisamment précis et temps de calcul raisonnable.

Vous voyez à quel point il est compliqué de rendre compte du réel ! Revenons à notre clepsydre et contentons-nous de nos approximations pour l’instant.

Bon maintenant réfléchissons. On veut une équation qui relie la variation temporelle de hauteur d’eau à la fonction f. Cette variation de hauteur, il s’agit de la dérivée par rapport au temps de la hauteur, comme on l’avait vu dans le billet sur la dérivation en physique. Or, la variation de la hauteur par rapport au temps qu’est-ce que c’est ? C’est la vitesse de l’écoulement ! On cherche donc une relation entre vitesse et profil horizontal.

Comme on a supposé l’écoulement incompressible, on peut utiliser quelque chose qu’on appelle la conservation du débit. Attention, ça ne veut pas dire que la vitesse de l’écoulement est la même partout. Ce n’est bien sûr pas le cas. Cela veut dire que le produit de la vitesse par la surface traversée est constant, conservé au cours de l’écoulement. C’est quelque chose qui se montre mathématiquement à partir de l’hypothèse d’incompressibilité, mais il va falloir me croire, ou vous convaincre que ce n’est pas déraisonnable. On peut écrire cette relation v_{1}S_{1}=v_{2}S_{2} où les v sont des vitesses, les S sont des surfaces de même hauteur.

débit

Réécrivons la conservation du débit sous la forme v_{2}=v_{1}\dfrac{S_{1}}{S_{2}}. Si on se base sur le schéma ci-dessus, alors comme la surface inférieure est plus petite que la surface supérieure, le rapport \dfrac{S_{1}}{S_{2}} est plus grand que 1, et donc la vitesse v_{2} est plus grande que la vitesse v_{1}. C’est ce qu’on observe avec un entonnoir !

Si j’écris cette relation entre une hauteur quelconque z et l’orifice de hauteur z=0, j’obtiens, avec les notations précédentes : v(z)=v(0)\dfrac{\pi r^{2}}{\pi f(z)^{2}} puisque la fonction f représente le profil horizontal du récipient. Voilà donc une première relation !

Maintenant, je vais utiliser ce qu’on appelle la relation de Bernoulli, qui dit que pour un écoulement parfait, stationnaire et incompressible (tiens, ça tombe bien, exactement les hypothèses qu’on a faites !), alors il existe une quantité conservée au cours de l’écoulement. Et cette quantité s’écrit : \dfrac{1}{2}v^{2}+gz. Il s’agit en fait à peu de choses près de l’énergie cinétique de l’écoulement plus l’énergie potentielle de l’écoulement. L’hypothèse de fluide parfait permet d’éviter la dissipation d’énergie, il s’agit donc d’une relation analogue à la conservation de l’énergie. Comme précédemment, je vais écrire ces deux quantités égales à une hauteur z quelconque et à la hauteur nulle correspondant à l’orifice du réservoir.

On obtient alors : v(z)^{2}+2gz=v(0)^{2}. Voici notre deuxième relation !

Vous voyez que l’on a dans les deux équations obtenues, les variables sont la vitesse de l’écoulement à une hauteur z (ce qu’on cherche à exprimer pour dire qu’elle doit être constante), le profil f(z), mais aussi la vitesse de sortie v(0), qu’on ne connait pas ! On va donc combiner nos deux équations pour la faire disparaitre.

Si j’utilise la première formule dans la deuxième, j’obtiens (je vous épargne le détail) : v^{2}(0)\left(1-\dfrac{\pi^{2}r^{4}}{\pi^{2}f(z)^{4}}\right)=2gz. On peut alors exprimer uniquement v(0)=\displaystyle\sqrt{\dfrac{2gz}{1-\dfrac{r^{4}}{f(z)^{4}}}}. On a obtenu l’équation de la vitesse d’éjection de l’eau.

Cette équation est un peu compliquée, et c’est là qu’on va utiliser l’hypothèse que la taille de l’orifice est beaucoup plus petite que le profil de l’eau partout ailleurs : en effet, dans ce cas, la formule ci-dessus se réécrit simplement : v(0)=\sqrt{2gz}.

Bon, et donc finalement, la vitesse de descente de l’eau (qui est l’opposé de la vitesse de l’écoulement) se réécrit :

\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=-v(z)=-v(0)\dfrac{r^{2}}{f(z)^{2}}=-\sqrt{2gz}\dfrac{r^{2}}{f(z)^{2}}

On a notre équation finale !

Le profil adéquat

Rappelez-vous, on cherche à faire en sorte que la hauteur d’eau descende linéairement. Comme on l’avait vu dans le billet sur les dérivées, cela revient à dire que la vitesse doit être constante. Ainsi, si on écrite que v(z)=cte=A, on réutilise la formule précédente, et on obtient direction le profil en du récipient en fonction de z :

\sqrt{2gz}\dfrac{r^{2}}{f(z)^{2}}=A soit f(z)^{2}=\sqrt{2gz}\dfrac{r^{2}}{A}.

Grosso modo, on obtient que f(z) varie comme z^{1/4}. Voici l’allure de la fonction, ce qui sera plus parlant :

courbe

Si bien que voici l’allure que doit avoir notre clepsydre pour que la hauteur d’eau descende de façon constante :

profil

Est-ce que tout ceci est en fait (un peu) faux ?

Notons que tout ceci est un modèle, et n’est donc jamais totalement réaliste. Mais si vous m’avez suivi du début à la fin, vous vous êtes peut-être rendu compte de quelque chose de bizarre. Peut-être vous êtes-vous dits que j’avais abouti à un résultat en contradiction avec mes hypothèses !

En fait, l’hypothèse de vitesse constante de l’écoulement peut sembler en contradiction avec l’hypothèse de conservation du débit dans un récipient dont le profil varie – je me suis moi-même fait avoir ! Reprenez simplement l’expression de conservation du débit vS=constante, et prenez les vitesses égales. On obtient simplement que les surfaces sont alors égales. Or on avait dit justement que dans un récipient cylindrique percé la vitesse d’écoulement variait au cours du temps ! Donc qu’est-ce que ça veut dire ? Est-ce que tout ce que j’ai fait n’a servi à rien ?

En fait – et c’est là mon erreur – j’aurais dû être plus rigoureux dans la manière d’écrire mes lois. La conservation du débit dit en fait qu’à un instant donné t, le produit de la vitesse de l’écoulement par la surface horizontale de liquide reste le même quelle que soit la hauteur de l’écoulement que l’on considère. Mais rien ne dit que le débit doit être le même au cours du temps ! D’ailleurs ce n’est bien sûr par le cas, vu que la vitesse reste constante au cours du temps alors que le profil varie.

Comme le débit diminue au cours du temps, alors si on impose que la vitesse reste constante, il faut que le profil du réservoir diminue également. D’où la forme globale qu’on a déterminée juste avant. La solution de l’équation donne le profil exact du récipient.

Gardons en tête que même si la solution à l’équation déterminée est une solution exacte, tout cela reste une solution approchée puisque j’ai fait des approximations : on pourrait faire des expériences précises avec ce type de réservoir, et on s’apercevrait que la vitesse n’est pas vraiment constante : un écoulement n’est évidemment jamais totalement statique, et le fluide frotte un peu contre les parois du réservoir ! C’est d’ailleurs pour ça qu’on utilise plus communément des sabliers que des clepsydres pour avoir une image linéaire du temps qui s’écoule !

En écrivant ce billet je me suis aperçu que David Louapre de Science étonnante (toujours lui !) avait écrit un article en 2013 sur les différences entre clepsydre et sablier. Les deux billets sont complémentaires, mais son approche plus générale compare écoulement fluide et écoulement granulaire, et je vous encourage à y faire un tour si ça vous intéresse.

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On se quitte sur cette photo de clepsydre moderne !

Conclusion

C’est tout pour ce billet, j’espère qu’il vous aura plu malgré son aspect un peu technique. J’ai détaillé toutes les étapes de raisonnement qui permettaient de prendre en main le problème. En tant que colleur en prépa c’est exactement ce que j’attends des élèves ! Modéliser le problème, faire des  hypothèses, utiliser des lois connues, résoudre les équations, discuter le résultat. C’est ça la démarche scientifique !

Ne vous inquiétez pas, normalement dans deux semaines je ferai le dernier billet de la saison, et il sera plus digeste ! (je crois…)

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2 réflexions sur “La forme des clepsydres et la méthode scientifique – WUS#34

  1. Lucien 19 juillet 2017 / 1 h 03 min

    Bonjour,

    Pour moi il n’y a pas contradiction entre l’hypothèse vitesse constante et la conservation du débit.

    En effet ce qui est conservé, c’est le débit en toute hauteur z a un instant t. Mais au cours du temps, le débit va diminuer, en même temps que h.

    Donc pour que le niveau d’eau baisse à vitesse constante, la section f(z) doit diminuer avec la hauteur z pour compenser la diminution du débit.

    Le modèle proposé, avec z^0.25, satisfait cette condition, contrairement à un cylindre, dans lequel le niveau de l’eau va baisser de moins en moins vite, et percer une bouteille d’eau suffit pour s’en convaincre.

    Ais-je faire une erreur dans ma compréhension de l’article ou dans mon raisonnement ?

    Aimé par 1 personne

    • Charlie 20 juillet 2017 / 6 h 01 min

      Bonjour,

      Merci pour votre commentaire et pour votre lecture attentive.

      Vous avez totalement raison ! Toutes mes excuses pour cette erreur, je me suis fait avoir par mon propre problème ! C’est désormais corrigé. J’en tire une leçon : faire bien attention à écrire proprement les lois que j’utilise. Si j’avais précisé que la conservation du débit se faisait sur tout tube de courant à un instant donné je n’aurais pas fait de confusion.

      Merci encore et à bientôt !

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